Номер 120, страница 56 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

120. Докажите, что если у треугольника две медианы равны, то он равнобедренный.

Дано

Пусть дан треугольник $ABC$. В нем проведены две медианы $AE$ и $BD$ к сторонам $BC$ и $AC$ соответственно. По условию задачи, длины этих медиан равны: $AE = BD$.

Доказать

Требуется доказать, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, а именно что стороны $AC$ и $BC$ равны.

Доказательство

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Обозначим эту точку буквой $O$. Эта точка (центроид) делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины.

2. Исходя из этого свойства, для медиан $AE$ и $BD$ справедливы следующие соотношения:
$AO = \frac{2}{3}AE$ и $OE = \frac{1}{3}AE$;
$BO = \frac{2}{3}BD$ и $OD = \frac{1}{3}BD$.

3. По условию $AE = BD$. Из этого равенства следует, что и соответствующие части медиан, на которые их делит точка $O$, также равны между собой:
$AO = \frac{2}{3}AE = \frac{2}{3}BD = BO$;
$OE = \frac{1}{3}AE = \frac{1}{3}BD = OD$.

4. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOE$. Сравним их:
- Сторона $AO$ равна стороне $BO$ (из п. 3).
- Сторона $OD$ равна стороне $OE$ (из п. 3).
- Угол $\angle AOD$ равен углу $\angle BOE$ (как вертикальные углы).
Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle AOD \cong \triangle BOE$.

5. Из равенства треугольников $\triangle AOD$ и $\triangle BOE$ вытекает равенство их соответствующих сторон. В частности, нас интересует, что $AD = BE$.

6. По определению, медиана делит противоположную сторону пополам. Следовательно, точка $D$ является серединой стороны $AC$, а точка $E$ — серединой стороны $BC$. Это означает, что:
$AC = 2 \cdot AD$;
$BC = 2 \cdot BE$.

7. Так как мы доказали, что $AD = BE$, то и удвоенные длины этих отрезков равны: $2 \cdot AD = 2 \cdot BE$. Заменив их на соответствующие стороны треугольника, получаем $AC = BC$.

8. Поскольку две стороны треугольника $ABC$ равны, он является равнобедренным по определению.

Ответ: Утверждение доказано. Если у треугольника две медианы равны, то он является равнобедренным.