Номер 113, страница 54 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

113. Сторона $AC$ треугольника $ABC$ равна 24 см. Найдите длину отрезка, соединяющего середины медиан $AK$ и $CM$.

Пусть в треугольнике $ABC$ даны сторона $AC = 24$ см, а также медианы $AK$ (проведенная к стороне $BC$) и $CM$ (проведенная к стороне $AB$). По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $AB$, а точка $K$ — серединой стороны $BC$.

Рассмотрим отрезок $MK$, который соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. Такой отрезок является средней линией треугольника $ABC$. Согласно свойству средней линии, она параллельна третьей стороне треугольника (в данном случае, стороне $AC$) и равна ее половине.

Таким образом, мы можем найти длину отрезка $MK$:

$MK = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \times 24 = 12$ см.

Теперь рассмотрим четырехугольник $AMKC$. Так как его стороны $MK$ и $AC$ параллельны, то $AMKC$ является трапецией. Основаниями этой трапеции служат отрезки $AC$ и $MK$, а медианы $AK$ и $CM$ являются ее диагоналями.

По условию задачи, требуется найти длину отрезка, соединяющего середины медиан $AK$ и $CM$. Обозначим эти середины как точки $P$ и $Q$ соответственно. Таким образом, отрезок $PQ$ соединяет середины диагоналей трапеции $AMKC$.

Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности длин ее оснований. Применим эту формулу:

$PQ = \frac{AC - MK}{2}$

Подставим известные значения длин оснований $AC = 24$ см и $MK = 12$ см в формулу:

$PQ = \frac{24 - 12}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Ответ: 6 см.