Номер 109, страница 54 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

109. В треугольнике $ABC$ средняя линия $KM$ ($K \in AB$, $M \in BC$) и медиана $BN$ пересекаются в точке $O$, $P_{AKON} = 80$ см, $P_{KBO} = 48$ см. Найдите длину стороны $AC$.

По условию, в треугольнике $ABC$ отрезок $KM$ является средней линией, а $BN$ — медианой.

1. Так как $KM$ — средняя линия, то по определению точка $K$ является серединой стороны $AB$, а точка $M$ — серединой стороны $BC$. Отсюда следует, что $AK = KB$. Также по свойству средней линии $KM$ параллельна стороне $AC$ ($KM \parallel AC$).

2. Так как $BN$ — медиана, проведенная к стороне $AC$, то точка $N$ является серединой стороны $AC$. Отсюда следует, что $AN = NC = \frac{AC}{2}$.

3. Рассмотрим треугольник $ABN$. Точка $K$ является серединой его стороны $AB$. Отрезок $KO$ является частью средней линии $KM$, а значит $KO \parallel AN$ (поскольку $KM \parallel AC$). По теореме о средней линии треугольника (или по теореме Фалеса), если отрезок, проведенный из середины одной стороны, параллелен второй стороне, то он делит третью сторону пополам. Следовательно, точка $O$ является серединой отрезка $BN$. Таким образом, мы получаем равенство $BO = ON$.

4. Запишем выражения для периметров, которые даны в условии:
Периметр четырехугольника $AKON$: $P_{AKON} = AK + KO + ON + AN = 80$ см.
Периметр треугольника $KBO$: $P_{KBO} = KB + BO + KO = 48$ см.

5. Теперь вычтем периметр треугольника $KBO$ из периметра четырехугольника $AKON$:
$P_{AKON} - P_{KBO} = (AK + KO + ON + AN) - (KB + BO + KO)$

6. Используя ранее установленные равенства $AK = KB$ и $ON = BO$, упростим полученное выражение:
$P_{AKON} - P_{KBO} = (KB + KO + BO + AN) - (KB + BO + KO)$
$P_{AKON} - P_{KBO} = KB + KO + BO + AN - KB - BO - KO$
$P_{AKON} - P_{KBO} = AN$

7. Подставим числовые значения периметров, чтобы найти длину отрезка $AN$:
$AN = 80 - 48 = 32$ см.

8. Поскольку $N$ — середина стороны $AC$, то длина стороны $AC$ равна удвоенной длине отрезка $AN$:
$AC = 2 \cdot AN = 2 \cdot 32 = 64$ см.

Ответ: $64$ см.