Номер 105, страница 53 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

105. a) Средние линии треугольника равны 3 м, 4 м и 5 м. Найдите периметр треугольника.

б) Периметр треугольника равен 210 м, его средние линии относятся как $3 : 5 : 7$. Найдите наибольшую сторону данного треугольника.

а) Средние линии треугольника равны 3 м, 4 м и 5 м. Найдите периметр треугольника.

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна её половине.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Тогда их средние линии, соединяющие середины двух других сторон, будут равны $a/2$, $b/2$ и $c/2$.

По условию, длины средних линий равны 3 м, 4 м и 5 м. Следовательно, мы можем найти длины сторон исходного треугольника:

$a = 2 \cdot 3 \text{ м} = 6 \text{ м}$

$b = 2 \cdot 4 \text{ м} = 8 \text{ м}$

$c = 2 \cdot 5 \text{ м} = 10 \text{ м}$

Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон:

$P = a + b + c = 6 + 8 + 10 = 24 \text{ м}$.

Альтернативно, можно заметить, что периметр исходного треугольника в два раза больше периметра треугольника, образованного его средними линиями. Периметр треугольника из средних линий равен $3 + 4 + 5 = 12$ м. Тогда периметр исходного треугольника равен $2 \cdot 12 = 24$ м.

Ответ: 24 м.

б) Периметр треугольника равен 210 м, его средние линии относятся как 3 : 5 : 7. Найдите наибольшую сторону данного треугольника.

Поскольку каждая сторона треугольника в два раза больше соответствующей средней линии, отношение длин сторон треугольника равно отношению длин его средних линий. Таким образом, стороны треугольника также относятся как $3:5:7$.

Пусть $x$ — коэффициент пропорциональности. Тогда длины сторон треугольника можно выразить как $3x$, $5x$ и $7x$.

Периметр треугольника — это сумма длин его сторон. По условию, периметр равен 210 м.

$3x + 5x + 7x = 210$

$15x = 210$

Теперь найдем значение коэффициента $x$:

$x = \frac{210}{15} = 14$

Теперь мы можем вычислить длины сторон треугольника:

Меньшая сторона: $3x = 3 \cdot 14 = 42$ м

Средняя сторона: $5x = 5 \cdot 14 = 70$ м

Наибольшая сторона: $7x = 7 \cdot 14 = 98$ м

Наибольшая сторона треугольника соответствует наибольшей части в отношении (7), ее длина составляет 98 м.

Ответ: 98 м.