Номер 107, страница 53 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

107. Докажите, что три средние линии треугольника разбивают его на четыре равных треугольника.

Докажите, что три средние линии треугольника разбивают его на четыре равных треугольника.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Обозначим точки $D$, $E$, $F$ как середины сторон $AB$, $BC$ и $CA$ соответственно. Соединив эти точки, мы получим три средние линии треугольника: $DE$, $EF$ и $DF$. Эти линии образуют внутри исходного треугольника четыре меньших треугольника: $\triangle ADF$, $\triangle BDE$, $\triangle CFE$ и центральный треугольник $\triangle DEF$.

Согласно свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Применим это свойство к нашим средним линиям:

- Средняя линия $DE$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$, следовательно, она параллельна стороне $AC$ и равна её половине: $DE = \frac{1}{2}AC$.
- Средняя линия $EF$ соединяет середины сторон $BC$ и $CA$, следовательно, она параллельна стороне $AB$ и равна её половине: $EF = \frac{1}{2}AB$.
- Средняя линия $DF$ соединяет середины сторон $AB$ и $CA$, следовательно, она параллельна стороне $BC$ и равна её половине: $DF = \frac{1}{2}BC$.

Теперь докажем равенство всех четырёх образовавшихся треугольников, сравнив их стороны. Мы будем использовать третий признак равенства треугольников (по трём сторонам).

1. Рассмотрим треугольник $\triangle ADF$. Его стороны равны:
$AD = \frac{1}{2}AB$ (так как $D$ — середина стороны $AB$).
$AF = \frac{1}{2}AC$ (так как $F$ — середина стороны $AC$).
$DF = \frac{1}{2}BC$ (как средняя линия).

2. Рассмотрим треугольник $\triangle BDE$. Его стороны равны:
$BD = \frac{1}{2}AB$ (так как $D$ — середина стороны $AB$).
$BE = \frac{1}{2}BC$ (так как $E$ — середина стороны $BC$).
$DE = \frac{1}{2}AC$ (как средняя линия).

3. Рассмотрим треугольник $\triangle CFE$. Его стороны равны:
$CF = \frac{1}{2}AC$ (так как $F$ — середина стороны $AC$).
$CE = \frac{1}{2}BC$ (так как $E$ — середина стороны $BC$).
$EF = \frac{1}{2}AB$ (как средняя линия).

4. Рассмотрим треугольник $\triangle DEF$. Его стороны равны:
$DE = \frac{1}{2}AC$ (как средняя линия).
$EF = \frac{1}{2}AB$ (как средняя линия).
$DF = \frac{1}{2}BC$ (как средняя линия).

Сравнивая длины сторон, мы видим, что у всех четырёх треугольников ($\triangle ADF$, $\triangle BDE$, $\triangle CFE$, $\triangle DEF$) стороны имеют одинаковые длины: $\frac{1}{2}AB$, $\frac{1}{2}BC$ и $\frac{1}{2}AC$.
Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам), все четыре треугольника равны между собой:
$\triangle ADF \cong \triangle BDE \cong \triangle CFE \cong \triangle DEF$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Три средние линии делят исходный треугольник на четыре меньших треугольника. Стороны каждого из этих четырёх треугольников равны половинам сторон исходного треугольника ($\frac{1}{2}AB$, $\frac{1}{2}BC$, $\frac{1}{2}AC$). Согласно третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам), все четыре треугольника равны между собой.