Номер 114, страница 54 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

114. В треугольнике $ABC$ проведен отрезок $BD$ так, что точка $D$ лежит на стороне $AC$ и $CD = AB$. Точка $M$ — середина отрезка $AD$, точка $N$ — середина отрезка $BC$. Найдите величину угла $NMC$, если $\angle BAC = 72^\circ$.

Для решения задачи воспользуемся методом дополнительного построения. Построим точку $P$ так, чтобы четырехугольник $ACPB$ был параллелограммом. В этом случае стороны $AB$ и $CP$ равны и параллельны, а также стороны $AC$ и $BP$ равны и параллельны. То есть $AB = CP$ и $AB \parallel CP$.

По свойству параллелограмма, его диагонали ($AP$ и $BC$) пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. По условию задачи, точка $N$ является серединой отрезка $BC$. Следовательно, точка $N$ также является и серединой отрезка $AP$.

Теперь рассмотрим треугольник $ADP$. По условию, $M$ — середина стороны $AD$. Как мы установили выше, $N$ — середина стороны $AP$. Таким образом, отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ADP$.

Согласно свойству средней линии, отрезок $MN$ параллелен третьей стороне треугольника, то есть $MN \parallel DP$.

Поскольку прямая $MN$ параллельна прямой $DP$, угол между прямой $MN$ и прямой $AC$ равен углу между прямой $DP$ и прямой $AC$. Точки $M$, $D$ и $C$ лежат на одной прямой $AC$, поэтому прямая $MC$ совпадает с прямой $AC$. Отсюда следует, что искомый угол $\angle NMC$ равен углу $\angle PDC$ (угол между отрезком $DP$ и прямой $AC$).

Для нахождения величины угла $\angle PDC$ рассмотрим треугольник $DPC$.

• Из построения параллелограмма $ACPB$ следует, что длина стороны $CP$ равна длине стороны $AB$, то есть $CP = AB$.
• По условию задачи также дано, что $CD = AB$.
• Из этих двух равенств получаем, что $CP = CD$. Это означает, что треугольник $DPC$ является равнобедренным с основанием $DP$.

Найдем угол при вершине $C$ в равнобедренном треугольнике $DPC$, то есть $\angle DCP$. Так как точка $D$ лежит на отрезке $AC$, угол $\angle DCP$ равен углу $\angle ACP$. В параллелограмме $ACPB$ стороны $AB$ и $CP$ параллельны, а прямая $AC$ является для них секущей. Углы $\angle BAC$ и $\angle ACP$ являются внутренними односторонними, и их сумма составляет $180^\circ$. По условию $\angle BAC = 72^\circ$. Следовательно, $\angle ACP = 180^\circ - \angle BAC = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$. Значит, $\angle DCP = 108^\circ$.

Теперь мы можем найти углы при основании равнобедренного треугольника $DPC$. Они равны между собой: $\angle PDC = \angle CPD = \frac{180^\circ - \angle DCP}{2} = \frac{180^\circ - 108^\circ}{2} = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ$.

Ранее мы показали, что $\angle NMC = \angle PDC$. Следовательно, искомый угол $\angle NMC$ равен $36^\circ$.

Ответ: $36^\circ$.