Номер 108, страница 53 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

108. a) Докажите, что в треугольнике $ABC$ средняя линия $KM$ и медиана $BN$ точкой пересечения $O$ делятся пополам (рис. 104).

Рис. 104

б) Докажите, что средняя линия $KM$ ($K \in AB, M \in BC$) треугольника $ABC$ делит пополам любой отрезок $BF$, где точка $F \in AC$.

Пусть дан треугольник $ABC$. $KM$ — его средняя линия, где $K$ — середина стороны $AB$, а $M$ — середина стороны $BC$. $BN$ — медиана, проведенная к стороне $AC$, следовательно, $N$ — середина $AC$. Точка $O$ — точка пересечения отрезков $KM$ и $BN$.

Сначала докажем, что точка $O$ является серединой медианы $BN$.

По свойству средней линии, $KM$ параллельна стороне $AC$. Так как точка $N$ лежит на $AC$, то $KM \parallel AN$. Рассмотрим треугольник $ABN$. В нем $K$ — середина стороны $AB$. Через точку $K$ проходит прямая $KM$, которая параллельна стороне $AN$ (поскольку $KM \parallel AC$). Точка $O$ лежит на этой прямой. По теореме о прямой, проходящей через середину одной стороны треугольника параллельно другой стороне, эта прямая пересекает третью сторону ($BN$) в её середине. Следовательно, точка $O$ является серединой отрезка $BN$. Таким образом, $BO = ON$.

Теперь докажем, что точка $O$ является серединой средней линии $KM$.

Так как $BN$ — медиана, $N$ — середина $AC$, то $AN = NC$.

Рассмотрим треугольник $ABN$. В нем $K$ — середина $AB$, а $O$ — середина $BN$ (как доказано выше). Значит, $KO$ — средняя линия треугольника $ABN$. По свойству средней линии, ее длина равна половине длины параллельной ей стороны: $KO = \frac{1}{2}AN$.

Рассмотрим треугольник $CBN$. В нем $M$ — середина $BC$, а $O$ — середина $BN$. Значит, $MO$ — средняя линия треугольника $CBN$. По свойству средней линии: $MO = \frac{1}{2}NC$.

Так как $AN = NC$, мы можем заключить, что $KO = MO$. Это означает, что точка $O$ является серединой отрезка $KM$.

Таким образом, доказано, что точка пересечения $O$ делит пополам и среднюю линию $KM$, и медиану $BN$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Пусть дан треугольник $ABC$. $KM$ — его средняя линия, где $K$ — середина стороны $AB$, а $M$ — середина стороны $BC$. $F$ — произвольная точка на стороне $AC$. Пусть $P$ — точка пересечения отрезков $KM$ и $BF$.

По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне треугольника, то есть $KM \parallel AC$.

Рассмотрим треугольник $ABF$. В нем точка $K$ является серединой стороны $AB$. Прямая $KM$ проходит через точку $K$ и параллельна стороне $AF$ (поскольку $F$ лежит на $AC$ и $KM \parallel AC$). Точка $P$ является точкой пересечения этой прямой с отрезком $BF$.

Согласно теореме о прямой, проходящей через середину одной стороны треугольника параллельно другой, эта прямая пересекает третью сторону в её середине. В нашем случае, прямая, содержащая отрезок $KP$, проходит через середину стороны $AB$ (точку $K$) и параллельна стороне $AF$. Следовательно, она пересекает третью сторону $BF$ в её середине.

Это означает, что точка $P$ является серединой отрезка $BF$, то есть $BP = PF$.

Поскольку точка $F$ была выбрана на стороне $AC$ произвольно, утверждение доказано для любого отрезка вида $BF$.

Ответ: Что и требовалось доказать.