Номер 104, страница 53 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

104. На рисунке 103 точки $M, K, N$ — середины сторон треугольника $ABC$. Периметр треугольника $ABC$ равен 44 см, $BK = 6$ см, $AM = 7$ см. Найдите длину отрезка $MK$ и периметр четырехугольника $AMKN$.

Рис. 103

По условию задачи, в треугольнике $ABC$ точки $M$, $K$ и $N$ являются серединами сторон $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. Периметр треугольника $ABC$ равен 44 см, $AM = 7$ см, $BK = 6$ см. Требуется найти длину отрезка $MK$ и периметр четырехугольника $AMKN$.

Найдите длину отрезка MK

1. Найдем длины сторон треугольника $ABC$.
Поскольку точка $M$ — середина стороны $AB$, то длина стороны $AB$ в два раза больше длины отрезка $AM$:
$AB = 2 \times AM = 2 \times 7 = 14$ см.
Поскольку точка $K$ — середина стороны $BC$, то длина стороны $BC$ в два раза больше длины отрезка $BK$:
$BC = 2 \times BK = 2 \times 6 = 12$ см.
Периметр треугольника $ABC$ — это сумма длин его сторон: $P_{ABC} = AB + BC + AC$. По условию $P_{ABC} = 44$ см. Можем найти длину стороны $AC$:
$AC = P_{ABC} - AB - BC = 44 - 14 - 12 = 18$ см.

2. Найдем длину отрезка $MK$.
Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна ее половине.
Так как $M$ — середина $AB$ и $K$ — середина $BC$, то $MK$ — средняя линия треугольника $ABC$.
Следовательно, ее длина равна половине длины стороны $AC$:
$MK = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \times 18 = 9$ см.

Ответ: 9 см.

Найдите периметр четырехугольника AMKN

1. Периметр четырехугольника $AMKN$ равен сумме длин его сторон: $P_{AMKN} = AM + MK + KN + NA$.

2. Найдем длины сторон четырехугольника:
- Длина $AM$ дана по условию: $AM = 7$ см.
- Длина $MK$ была найдена в предыдущем пункте: $MK = 9$ см.
- Отрезок $KN$ соединяет середины сторон $BC$ и $AC$, значит $KN$ — средняя линия треугольника $ABC$. Ее длина равна половине длины стороны $AB$:
$KN = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 14 = 7$ см.
- Точка $N$ — середина стороны $AC$. Следовательно, длина отрезка $NA$ равна половине длины стороны $AC$:
$NA = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \times 18 = 9$ см.

3. Теперь вычислим периметр четырехугольника $AMKN$:
$P_{AMKN} = AM + MK + KN + NA = 7 + 9 + 7 + 9 = 32$ см.

Ответ: 32 см.