Номер 112, страница 54 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

112. В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ точки $M, N, K$ и $P$ — середины сторон $AB, BC, CD, AD$ соответственно. Периметр треугольника $MNP$ равен периметру треугольника $MKP$. Докажите, что $AC \perp BD$.

Докажите, что AC ⊥ BD.

Рассмотрим выпуклый четырехугольник $ABCD$. Точки $M, N, K, P$ являются серединами его сторон $AB, BC, CD, AD$ соответственно. Соединим эти точки последовательно.

1. В треугольнике $ABC$ отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. Следовательно, $MN$ является средней линией $\triangle ABC$. По свойству средней линии, отрезок $MN$ параллелен стороне $AC$ и равен ее половине: $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.

2. Аналогично, в треугольнике $ADC$ отрезок $KP$ соединяет середины сторон $CD$ и $AD$. Следовательно, $KP$ является средней линией $\triangle ADC$. Таким образом, $KP \parallel AC$ и $KP = \frac{1}{2}AC$.

3. Из того, что $MN \parallel AC$ и $KP \parallel AC$, следует, что $MN \parallel KP$. Из того, что $MN = \frac{1}{2}AC$ и $KP = \frac{1}{2}AC$, следует, что $MN = KP$. Поскольку в четырехугольнике $MNKP$ две противолежащие стороны ($MN$ и $KP$) равны и параллельны, $MNKP$ является параллелограммом (это утверждение известно как теорема Вариньона).

4. По условию задачи, периметр треугольника $MNP$ равен периметру треугольника $MKP$. Запишем это математически:

$P_{\triangle MNP} = P_{\triangle MKP}$

$MN + NP + PM = MK + KP + PM$

Треугольники $MNP$ и $MKP$ имеют общую сторону $PM$. Вычтем длину этой стороны из обеих частей равенства:

$MN + NP = MK + KP$

5. Из пунктов 1 и 2 мы знаем, что $MN = KP$. Подставим это равенство в предыдущее выражение:

$KP + NP = MK + KP$

Вычитая из обеих частей $KP$, получаем, что диагонали параллелограмма $MNKP$ равны:

$NP = MK$

6. Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником. Следовательно, четырехугольник $MNKP$ — прямоугольник.

7. У прямоугольника все углы прямые, в частности, угол между смежными сторонами $MN$ и $MP$ равен $90^\circ$, то есть $MN \perp MP$.

8. Рассмотрим теперь диагональ $BD$ исходного четырехугольника. В треугольнике $ABD$ отрезок $MP$ соединяет середины сторон $AB$ и $AD$. Таким образом, $MP$ является средней линией $\triangle ABD$. По свойству средней линии, $MP \parallel BD$.

9. Сведем воедино полученные результаты:

- $MN \parallel AC$ (из п. 1)

- $MP \parallel BD$ (из п. 8)

- $MN \perp MP$ (из п. 7)

10. Угол между двумя пересекающимися прямыми равен углу между двумя другими прямыми, которые соответственно им параллельны. Так как $MN \parallel AC$ и $MP \parallel BD$, то угол между диагоналями $AC$ и $BD$ равен углу между отрезками $MN$ и $MP$.

Поскольку $MN \perp MP$, угол между ними равен $90^\circ$. Следовательно, угол между диагоналями $AC$ и $BD$ также равен $90^\circ$, что означает, что они перпендикулярны: $AC \perp BD$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.