Номер 116, страница 56 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

116. На рисунке 109 $BK$ и $AN$ — медианы треугольника $ABC$, $AB = 30$ см, $BK = 15$ см, $AN = 36$ см. Найдите периметр треугольника $KMN$.

Рис. 109

Для нахождения периметра треугольника $KMN$ необходимо найти длины его сторон: $KN$, $MN$ и $KM$.

По условию, $BK$ и $AN$ — медианы треугольника $ABC$. Это значит, что точка $K$ является серединой стороны $AC$, а точка $N$ — серединой стороны $BC$.

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией. Следовательно, отрезок $KN$ — средняя линия треугольника $ABC$.

Согласно свойству средней линии, её длина равна половине длины третьей стороны, которой она параллельна. В нашем случае $KN$ параллельна $AB$ и её длина вычисляется по формуле:

$KN = \frac{1}{2} AB$

Подставим известное значение $AB = 30$ см:

$KN = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15$ см.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Точка $M$ — это точка пересечения медиан $AN$ и $BK$.

Рассмотрим медиану $AN$. Точка $M$ делит её в отношении $AM:MN = 2:1$. Это означает, что длина отрезка $MN$ составляет $\frac{1}{3}$ от всей длины медианы $AN$.

$MN = \frac{1}{3} AN$

Подставим известное значение $AN = 36$ см:

$MN = \frac{1}{3} \cdot 36 = 12$ см.

Рассмотрим медиану $BK$. Точка $M$ делит её в отношении $BM:MK = 2:1$. Это означает, что длина отрезка $MK$ составляет $\frac{1}{3}$ от всей длины медианы $BK$.

$MK = \frac{1}{3} BK$

Подставим известное значение $BK = 15$ см:

$MK = \frac{1}{3} \cdot 15 = 5$ см.

Периметр треугольника $KMN$ равен сумме длин его сторон:

$P_{KMN} = KN + MN + MK$

Подставим найденные значения длин сторон:

$P_{KMN} = 15 + 12 + 5 = 32$ см.

Ответ: 32 см.