Номер 123, страница 56 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

123. Медианы $AK$ и $CM$ треугольника $ABC$ взаимно перпендикулярны, $AC = 10$ см. Найдите длину третьей медианы $BN$.

Пусть $O$ — точка пересечения медиан $AK$, $CM$ и $BN$ треугольника $ABC$. Точка $O$ является центроидом треугольника.

По условию, медианы $AK$ и $CM$ взаимно перпендикулярны, следовательно, угол между ними равен $90^\circ$. Это означает, что $\angle AOC = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $AOC$ является прямоугольным, где $AC$ — гипотенуза.

Медиана $BN$ проведена к стороне $AC$, значит, точка $N$ является серединой стороны $AC$. Отрезок $ON$ соединяет вершину $O$ прямоугольного треугольника $AOC$ с серединой гипотенузы $AC$. Следовательно, $ON$ является медианой, проведенной к гипотенузе в прямоугольном треугольнике $AOC$.

По свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, ее длина равна половине длины гипотенузы.

$ON = \frac{1}{2}AC$

Поскольку по условию $AC = 10$ см, то:

$ON = \frac{1}{2} \times 10 = 5$ см.

По свойству медиан треугольника, они пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Для медианы $BN$ это означает:

$BO : ON = 2 : 1$

Отсюда $BO = 2 \cdot ON$.

Длина всей медианы $BN$ равна сумме длин ее частей $BO$ и $ON$:

$BN = BO + ON = 2 \cdot ON + ON = 3 \cdot ON$

Подставим найденное значение $ON$:

$BN = 3 \times 5 = 15$ см.

Ответ: 15 см.