Номер 117, страница 56 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

117. Точки $N$ и $K$ — середины отрезков $AC$ и $AB$ (рис. 110), $BN = 18 \text{ см}$, $CK = 21 \text{ см}$, $AC = 24 \text{ см}$. Найдите периметр треугольника $NMC$.

Рис. 110

Нахождение стороны NC

Согласно условию задачи, точка N является серединой стороны AC. Длина стороны AC дана и составляет 24 см. Так как N — середина AC, то длина отрезка NC равна половине длины AC.
$NC = \frac{1}{2} \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$ см.
Ответ: Длина стороны NC равна 12 см.

Нахождение сторон MC и NM

По условию, N — середина AC, а K — середина AB. Следовательно, отрезки BN и CK, соединяющие вершины треугольника с серединами противоположных сторон, являются его медианами.
Точка M — это точка пересечения медиан BN и CK. Точка пересечения медиан треугольника называется его центроидом.
По свойству медиан, центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Для медианы CK, длина которой равна 21 см, выполняется соотношение $CM : MK = 2:1$. Это означает, что отрезок CM составляет $\frac{2}{3}$ от всей длины медианы CK.
$MC = \frac{2}{3} \cdot CK = \frac{2}{3} \cdot 21 = 14$ см.
Аналогично для медианы BN, длина которой равна 18 см, выполняется соотношение $BM : MN = 2:1$. Это означает, что отрезок NM составляет $\frac{1}{3}$ от всей длины медианы BN.
$NM = \frac{1}{3} \cdot BN = \frac{1}{3} \cdot 18 = 6$ см.
Ответ: Длины сторон MC и NM равны 14 см и 6 см соответственно.

Нахождение периметра треугольника NMC

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Для треугольника NMC периметр ($P_{\triangle NMC}$) вычисляется как сумма длин сторон NC, MC и NM.
$P_{\triangle NMC} = NC + MC + NM$
Подставим найденные ранее значения длин сторон:
$P_{\triangle NMC} = 12 \text{ см} + 14 \text{ см} + 6 \text{ см} = 32 \text{ см}.$
Ответ: Периметр треугольника NMC равен 32 см.