Номер 122, страница 56 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

122. Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M. Медиану BN продлили за точку N на треть ее длины. Получили отрезок ND, где $ND = \frac{1}{3}BN$. Периметр треугольника DMC равен 42 см. Найдите периметр треугольника, составленного из медиан треугольника ABC.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведены медианы $AK$, $BN$ и $CL$, которые пересекаются в точке $M$. Нам нужно найти периметр треугольника, составленного из этих медиан, то есть величину $P_{medians} = AK + BN + CL$.

1. Использование свойств точки пересечения медиан
Известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Для наших медиан это означает: $AM = \frac{2}{3}AK$ и $MK = \frac{1}{3}AK$
$BM = \frac{2}{3}BN$ и $MN = \frac{1}{3}BN$
$CM = \frac{2}{3}CL$ и $ML = \frac{1}{3}CL$
Ответ: Отрезки медиан от вершины до точки пересечения $M$ составляют $\frac{2}{3}$ длины всей медианы, а отрезки от точки $M$ до стороны составляют $\frac{1}{3}$ длины всей медианы.

2. Анализ построения и четырехугольника $AMCD$
По условию, медиану $BN$ продлили за точку $N$ и получили отрезок $ND$ такой, что $ND = \frac{1}{3}BN$. Из предыдущего пункта мы знаем, что $MN = \frac{1}{3}BN$. Следовательно, $MN = ND$. Так как $BN$ – медиана, точка $N$ является серединой стороны $AC$, то есть $AN = NC$. Рассмотрим четырехугольник $AMCD$. Его диагонали $AC$ и $MD$ пересекаются в точке $N$. Поскольку $AN = NC$ и $MN = ND$, диагонали этого четырехугольника точкой пересечения делятся пополам. Четырехугольник, диагонали которого делятся пополам в точке их пересечения, является параллелограммом.
Ответ: Четырехугольник $AMCD$ является параллелограммом.

3. Связь сторон треугольника $DMC$ с медианами треугольника $ABC$
Периметр треугольника $DMC$ равен сумме длин его сторон: $P_{DMC} = DM + MC + CD$. Выразим каждую сторону через длины медиан:

• Сторона $MC$ является частью медианы $CL$. Из свойства медиан имеем: $MC = \frac{2}{3}CL$.
• Сторона $DM$ состоит из двух отрезков $MN$ и $ND$. Мы знаем, что $MN = \frac{1}{3}BN$ и $ND = \frac{1}{3}BN$. Таким образом, $DM = MN + ND = \frac{1}{3}BN + \frac{1}{3}BN = \frac{2}{3}BN$.
• Сторона $CD$ является стороной параллелограмма $AMCD$. В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому $CD = AM$. А так как $AM$ — это часть медианы $AK$, то $AM = \frac{2}{3}AK$. Следовательно, $CD = \frac{2}{3}AK$.

Ответ: Стороны треугольника $DMC$ выражаются через медианы треугольника $ABC$ следующим образом: $MC = \frac{2}{3}CL$, $DM = \frac{2}{3}BN$, $CD = \frac{2}{3}AK$.

4. Вычисление периметра треугольника, составленного из медиан
По условию, периметр треугольника $DMC$ равен 42 см: $P_{DMC} = DM + MC + CD = 42$ Подставим выражения, полученные в предыдущем пункте: $\frac{2}{3}BN + \frac{2}{3}CL + \frac{2}{3}AK = 42$ Вынесем общий множитель $\frac{2}{3}$ за скобки: $\frac{2}{3}(AK + BN + CL) = 42$ Выражение в скобках $AK + BN + CL$ и есть искомый периметр треугольника, составленного из медиан. Обозначим его $P_{medians}$. $\frac{2}{3} P_{medians} = 42$ Найдем $P_{medians}$: $P_{medians} = 42 \cdot \frac{3}{2} = 21 \cdot 3 = 63$ см.
Ответ: 63 см.