Номер 135, страница 61 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

135. Докажите, что биссектрисы углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, взаимно перпендикулярны.

Пусть дана трапеция ABCD, у которой основания AD и BC параллельны ($AD \parallel BC$), а AB — боковая сторона.

Углы $\angle ABC$ и $\angle BAD$ — это углы, прилежащие к боковой стороне AB. Поскольку прямые AD и BC параллельны, а AB является секущей, сумма этих углов как внутренних односторонних равна $180^\circ$.

$\angle ABC + \angle BAD = 180^\circ$

Проведем биссектрисы углов $\angle ABC$ и $\angle BAD$. Пусть они пересекаются в точке O.

По определению биссектрисы:
$\angle ABO = \frac{1}{2} \angle ABC$
$\angle BAO = \frac{1}{2} \angle BAD$

Рассмотрим треугольник ABO, образованный биссектрисами и боковой стороной. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:

$\angle AOB + \angle ABO + \angle BAO = 180^\circ$

Подставим в это равенство выражения для половинных углов:

$\angle AOB + \frac{1}{2} \angle ABC + \frac{1}{2} \angle BAD = 180^\circ$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\angle AOB + \frac{1}{2} (\angle ABC + \angle BAD) = 180^\circ$

Так как $\angle ABC + \angle BAD = 180^\circ$, подставим это значение в полученное уравнение:

$\angle AOB + \frac{1}{2} (180^\circ) = 180^\circ$

$\angle AOB + 90^\circ = 180^\circ$

Отсюда находим угол $\angle AOB$, который является углом между биссектрисами:

$\angle AOB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Поскольку угол между биссектрисами равен $90^\circ$, они взаимно перпендикулярны. Это утверждение справедливо для биссектрис углов, прилежащих к любой из боковых сторон трапеции. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Биссектрисы углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, всегда пересекаются под прямым углом ($90^\circ$) и, следовательно, взаимно перпендикулярны.