Номер 139, страница 62 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

139. Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, $AB = BC = CD$, $\angle ACD = 90^\circ$. Найдите углы трапеции.

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию $AB = BC = CD$ и $\angle ACD = 90^\circ$.

1. Так как в трапеции $ABCD$ боковые стороны равны ($AB = CD$), она является равнобедренной. В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны: $\angle A = \angle D$ и $\angle B = \angle C$.

2. Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как по условию $AB = BC$, этот треугольник является равнобедренным. Следовательно, углы при его основании $AC$ равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

3. Основания трапеции $AD$ и $BC$ параллельны. Прямая $AC$ является секущей. Накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны: $\angle CAD = \angle BCA$.

4. Из равенств $\angle BAC = \angle BCA$ и $\angle CAD = \angle BCA$ следует, что $\angle BAC = \angle CAD$. Это означает, что диагональ $AC$ является биссектрисой угла $A$. Пусть $\angle CAD = \angle BAC = x$. Тогда полный угол $\angle A = 2x$.

5. Поскольку трапеция равнобедренная, угол $\angle D$ равен углу $\angle A$. Таким образом, $\angle D = 2x$.

6. Угол $C$ трапеции складывается из двух углов: $\angle C = \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD$. Из пункта 4 мы знаем, что $\angle BCA = x$, а по условию задачи $\angle ACD = 90^\circ$. Следовательно, $\angle C = x + 90^\circ$.

7. Сумма углов трапеции, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Для стороны $CD$ имеем: $\angle D + \angle C = 180^\circ$. Подставим в это уравнение выражения для углов, найденные ранее: $2x + (x + 90^\circ) = 180^\circ$ $3x + 90^\circ = 180^\circ$ $3x = 90^\circ$ $x = 30^\circ$

8. Теперь, зная значение $x$, можем найти все углы трапеции: $\angle A = \angle D = 2x = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$. $\angle B = \angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. (Проверка для угла C: $\angle C = x + 90^\circ = 30^\circ + 90^\circ = 120^\circ$).

Ответ: углы трапеции равны $\angle A = 60^\circ$, $\angle B = 120^\circ$, $\angle C = 120^\circ$, $\angle D = 60^\circ$.