Номер 136, страница 61 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

136. Точки $A$ и $B$ лежат по разные стороны от прямой $l$ и удалены от нее на расстояния 5 см и 9 см соответственно (рис. 122). Найдите расстояние от середины $M$ отрезка $AB$ до прямой $l$.

Рис. 122

Пусть $AA_1$ и $BB_1$ — перпендикуляры, опущенные из точек $A$ и $B$ на прямую $l$. Согласно условию, их длины равны:

$AA_1 = 5$ см

$BB_1 = 9$ см

Требуется найти расстояние от точки $M$ (середины отрезка $AB$) до прямой $l$. Обозначим это расстояние как $MK$, где $MK \perp l$.

Для решения задачи воспользуемся методом построений.

1. Поскольку $AA_1 \perp l$ и $BB_1 \perp l$, прямые $AA_1$ и $BB_1$ параллельны. Это означает, что фигура $A_1B_1BA$ является трапецией с основаниями $AA_1$ и $BB_1$.
2. Проведем через точку $A$ прямую, параллельную $A_1B_1$, до ее пересечения с прямой $BB_1$ в точке $C$. Так как точки $A$ и $B$ находятся по разные стороны от прямой $l$, точка $B_1$ окажется на отрезке $CB$.
3. Полученный четырехугольник $AA_1B_1C$ является прямоугольником, поскольку его противоположные стороны параллельны ($AC \parallel A_1B_1$ по построению, $AA_1 \parallel CB_1$ как перпендикуляры к одной прямой), а один из углов прямой ($\angle AA_1B_1 = 90^\circ$).
4. Из свойств прямоугольника следует, что $CB_1 = AA_1 = 5$ см.
5. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Он является прямоугольным, так как $AC \parallel l$ и $BC \perp l$, следовательно, $\angle C = 90^\circ$.
6. Найдем длину катета $BC$: $BC = BB_1 + B_1C = 9 \text{ см} + 5 \text{ см} = 14 \text{ см}$.
7. По условию, точка $M$ — середина гипотенузы $AB$. Проведем из точки $M$ отрезок $MN$ параллельно катету $AC$ до пересечения с катетом $BC$ (точка $N$ лежит на $BC$).
8. Согласно теореме о средней линии треугольника, $MN$ является средней линией $\triangle ABC$. Это значит, что точка $N$ — середина катета $BC$.
9. Найдем длину отрезка $BN$: $BN = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \times 14 \text{ см} = 7 \text{ см}$.
10. Теперь определим искомое расстояние $MK$. Отрезок $MN$ параллелен $AC$, а $AC$ параллельна прямой $l$ (и отрезку $A_1B_1$). Значит, $MN \parallel l$. Отсюда следует, что расстояние от точки $M$ до прямой $l$ равно расстоянию от точки $N$ до прямой $l$. Расстояние от точки $N$ до прямой $l$ — это длина отрезка $NB_1$.
11. Длину отрезка $NB_1$ можно найти как разность длин отрезков $BB_1$ и $BN$: $NB_1 = BB_1 - BN = 9 \text{ см} - 7 \text{ см} = 2 \text{ см}$.
12. Следовательно, искомое расстояние $MK$ также равно 2 см.

Ответ: 2 см.