Номер 131, страница 61 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

131. В трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) диагональ $AC$ пересекает среднюю линию $MN$ в точке $K$ ($M \in AB$), а диагональ $BD$ — в точке $E$, $AD = 38$ см, $BC = 30$ см. Найдите:

а) $ME$;

б) $MK$;

в) $KE$.

По условию задачи, дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$, где $BC \parallel AD$. $MN$ — средняя линия трапеции, где $M$ — середина боковой стороны $AB$, а $N$ — середина боковой стороны $CD$. Диагональ $AC$ пересекает среднюю линию $MN$ в точке $K$, а диагональ $BD$ — в точке $E$. Известны длины оснований: $AD = 38$ см и $BC = 30$ см.

Основное свойство средней линии трапеции заключается в том, что она параллельна ее основаниям, то есть $MN \parallel AD$ и $MN \parallel BC$.

а) ME

Рассмотрим треугольник $ABD$.

Так как $M$ — середина стороны $AB$ (по определению средней линии трапеции), а отрезок $ME$ является частью средней линии $MN$, который параллелен основанию $AD$ ($ME \parallel AD$), то $ME$ является средней линией треугольника $ABD$.

Длина средней линии треугольника равна половине длины стороны, которой она параллельна.

Следовательно, $ME = \frac{1}{2} AD$.

Подставим известное значение $AD$:

$ME = \frac{1}{2} \cdot 38 = 19$ см.

Ответ: 19 см.

б) MK

Рассмотрим треугольник $ABC$.

Аналогично, точка $M$ — середина стороны $AB$, а отрезок $MK$ является частью средней линии $MN$, который параллелен основанию $BC$ ($MK \parallel BC$). Значит, $MK$ является средней линией треугольника $ABC$.

Длина средней линии треугольника равна половине длины стороны, которой она параллельна.

Следовательно, $MK = \frac{1}{2} BC$.

Подставим известное значение $BC$:

$MK = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15$ см.

Ответ: 15 см.

в) KE

Отрезок $KE$ — это часть средней линии $MN$, которая находится между диагоналями трапеции. Его длину можно найти как разность длин отрезков $ME$ и $MK$, которые мы вычислили в предыдущих пунктах.

Точки $M, K, E$ лежат на одной прямой, поэтому длина отрезка $KE$ равна $|ME - MK|$. Так как $AD > BC$, то и $ME > MK$.

$KE = ME - MK$.

Подставим найденные значения:

$KE = 19 - 15 = 4$ см.

Также можно было использовать общую формулу для длины отрезка средней линии, заключенного между диагоналями: $KE = \frac{AD - BC}{2}$.

$KE = \frac{38 - 30}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 4 см.