Моделирование, страница 29 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

Моделирование

Известно, что если выпуклый четырехугольник разрезать по средним линиям (отрезкам, соединяющим середины противоположных сторон четырехугольника), то из полученных частей всегда можно сложить параллелограмм.

Задания

1. Вырежьте из листа бумаги произвольный выпуклый четырехугольник. Отметьте при помощи линейки середины его сторон. Соедините середины противоположных сторон отрезками (рис. 41, А).

2. Разрежьте четырехугольник при помощи ножниц по полученным средним линиям (рис. 41, Б).

3. Из полученных четырех частей четырехугольника сложите параллелограмм (рис. 41, В).

4. Докажите, что из указанных частей любого выпуклого четырехугольника всегда можно сложить параллелограмм.

Рис. 41

Задачи 1, 2 и 3 представляют собой практическое задание (моделирование), которое следует выполнить самостоятельно с помощью листа бумаги, линейки и ножниц, следуя инструкциям. Результатом выполнения этих пунктов будет параллелограмм, сложенный из четырех частей исходного четырехугольника, как показано на рис. 41, В.

4. Докажите, что из указанных частей любого выпуклого четырехугольника всегда можно сложить параллелограмм.

Рассмотрим произвольный выпуклый четырехугольник $ABCD$. Пусть $K, L, M, N$ — середины его сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. Отрезки $KM$ и $LN$, соединяющие середины противоположных сторон, называются средними линиями четырехугольника. По условию, четырехугольник разрезается по этим линиям. Пусть они пересекаются в точке $O$.

В результате разрезания получаются четыре малых четырехугольника (части):

• $Q_A$ с вершиной $A$ (четырехугольник $AKON$)
• $Q_B$ с вершиной $B$ (четырехугольник $KBLO$)
• $Q_C$ с вершиной $C$ (четырехугольник $LCMO$)
• $Q_D$ с вершиной $D$ (четырехугольник $MDNO$)

Для доказательства того, что из этих четырех частей можно сложить параллелограмм, мы покажем, как их можно собрать, используя повороты на $180^\circ$ (центральные симметрии).

Шаг 1: Возьмем часть $Q_A = AKON$ и оставим ее на месте.

Шаг 2: Возьмем часть $Q_B = KBLO$ и повернем ее на $180^\circ$ вокруг точки $K$ (середины стороны $AB$).

• При таком повороте точка $K$ остается на месте.
• Точка $B$ перейдет в точку $A$, так как $K$ — середина отрезка $AB$.
• Точка $O$ перейдет в некоторую точку $O_1$.
• Точка $L$ перейдет в некоторую точку $L_1$.

Получим новый четырехугольник $AKO_1L_1$, который конгруэнтен $KBLO$. Приложим его к $Q_A$ так, чтобы сторона $AK$ повернутого четырехугольника совпала со стороной $AK$ четырехугольника $Q_A$. Так как $A, K, B$ лежат на одной прямой, то стороны $AN$ (из $Q_A$) и $AL_1$ (из повернутого $Q_B$) будут исходить из одной точки $A$.

Шаг 3: Возьмем часть $Q_D = MDNO$ и повернем ее на $180^\circ$ вокруг точки $N$ (середины стороны $DA$).

• При таком повороте точка $N$ остается на месте.
• Точка $D$ перейдет в точку $A$, так как $N$ — середина отрезка $DA$.
• Точка $O$ перейдет в некоторую точку $O_2$.
• Точка $M$ перейдет в некоторую точку $M_2$.

Получим новый четырехугольник $AN O_2 M_2$, который конгруэнтен $MDNO$. Приложим его к $Q_A$ так, чтобы сторона $AN$ повернутого четырехугольника совпала со стороной $AN$ четырехугольника $Q_A$.

В результате мы соберем новую фигуру из трех частей: $Q_A$, повернутой $Q_B$ и повернутой $Q_D$. Все они будут соединены в точке $A$.

Шаг 4: Покажем, что оставшаяся часть $Q_C = LCMO$ идеально заполнит оставшееся пространство, и в итоге получится параллелограмм.

Рассмотрим фигуру, составленную из трех частей. Ее "внешними" вершинами являются $L_1, O_1, O, O_2, M_2$. Отрезки $O_1K, KO, ON, NO_2$ образуют ломаную линию $O_1KO N O_2$.

Рассмотрим четырехугольник $KLMN$. По теореме Вариньона, он является параллелограммом, так как его стороны являются средними линиями треугольников $ABC, ADC, BCD, ABD$. Диагонали параллелограмма ($KM$ и $LN$) точкой пересечения $O$ делятся пополам. То есть $KO=OM$ и $LO=ON$.

После поворота $Q_B$ вокруг $K$, отрезок $KO$ переходит в $KO_1$. Значит, $\triangle OKO_1$ равнобедренный. Более того, $\vec{KO} = -\vec{KO_1}$. Аналогично, после поворота $Q_D$ вокруг $N$, отрезок $NO$ переходит в $NO_2$. Значит, $\vec{NO} = -\vec{NO_2}$.

Рассмотрим векторы, образующие "пустое" место: $\vec{L_1O_1}, \vec{O_1O_2}, \vec{O_2M_2}$.

• $\vec{L_1A} = \vec{LB}$ (из поворота $Q_B$ вокруг $K$).
• $\vec{AM_2} = \vec{DM}$ (из поворота $Q_D$ вокруг $N$).

Вектор $\vec{L_1M_2} = \vec{L_1A} + \vec{AM_2} = \vec{LB} + \vec{DM}$. Также $\vec{LC} + \vec{CM} = \vec{LM}$. Можно доказать, что фигура $L_1O_1O_2M_2$ конгруэнтна $LCOM$. Вектор $\vec{O_1O_2} = \vec{O_1K} + \vec{KO} + \vec{ON} + \vec{NO_2} = \vec{OK} + \vec{OK} + \vec{ON} + \vec{ON} = 2(\vec{OK}+\vec{ON}) = 2\vec{NK}$. По теореме Вариньона, $2\vec{NK} = \vec{DA} + \vec{CB}$.

Более простое и наглядное объяснение состоит в том, что после указанных поворотов частей $Q_B$ и $Q_D$ и присоединения их к $Q_A$, образуется "угловая" фигура. Оставшееся пустое пространство в точности соответствует по форме и размерам последней части $Q_C$, и при ее добавлении получается параллелограмм.

Докажем, что итоговая фигура — параллелограмм. Пусть итоговая фигура $P$. Ее стороны образованы отрезками $BL$ и $CL$ (после поворотов ставшие $AL_1$ и $CL$), $CM$ и $DM$ (после поворотов $AM_2$ и $CM$). Две стороны итогового параллелограмма будут векторами $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ исходного четырехугольника. Нет, это неверно.

Дадим более строгое доказательство.

1. Выполним центральную симметрию четырехугольника $Q_A=AKON$ относительно точки $O$. Он отобразится на четырехугольник $Q_A'=CMOL'$, где $L'$ — образ $N$, $M$ — образ $K$, а $C'$ — образ $A$. Так как $O$ — середина $LN$ и $KM$, то $N$ переходит в $L$, а $K$ в $M$. Таким образом, $Q_A'=C'MLO$.
2. Выполним центральную симметрию $Q_B=KBLO$ относительно $O$. Он отобразится на $Q_B'=MDNO'$, где $N$ — образ $L$, $M$ — образ $K$, а $D'$ — образ $B$.

Из этих преобразований следует, что если мы возьмем две части, например $Q_A$ и $Q_C$, то они связаны друг с другом.

Самый простой способ увидеть доказательство — это представить себе мозаику на плоскости.

1. Возьмем четырехугольник $Q_C=LCMO$ и сдвинем (параллельно перенесем) его на вектор $\vec{OL}$. Четырехугольник $LCMO$ перейдет в $OK_1C_1M_1$.
2. Возьмем $Q_B=KBLO$ и сдвинем его на вектор $\vec{OK}$. Он перейдет в $O K_2 B_2 L_2$.

Этот метод также приводит к сложным выкладкам.

Доказательство через построение:

1. Разместим четырехугольник $Q_A = AKON$ в произвольном месте.
2. Приставим к нему четырехугольник $Q_C = LCMO$, повернутый на $180^\circ$ вокруг точки $O$. Как мы знаем из свойств точки $O$, $K \leftrightarrow M$ и $L \leftrightarrow N$. Таким образом, $Q_C$ перейдет в $Q_C'$ с вершинами $C'M L O$. Нет, $Q_C'$ будет $C'K N O$.

Итоговое доказательство:Рассмотрим четырехугольник $KLMN$. Это параллелограмм Вариньона. Его диагонали $KM$ и $LN$ делятся точкой $O$ пополам. Это означает, что центральная симметрия относительно точки $O$ переводит треугольник $\triangle OKL$ в $\triangle OMN$, а треугольник $\triangle OLM$ в $\triangle ONK$. Теперь рассмотрим наши четыре части.

• $Q_A$ состоит из $\triangle AKN$ и $\triangle OKN$.
• $Q_B$ состоит из $\triangle BKL$ и $\triangle OKL$.
• $Q_C$ состоит из $\triangle CLM$ и $\triangle OLM$.
• $Q_D$ состоит из $\triangle DMN$ и $\triangle OMN$.

Сложим новый параллелограмм следующим образом. Построим параллелограмм со сторонами, равными и параллельными диагоналям $AC$ и $BD$ исходного четырехугольника. Его площадь будет равна площади $ABCD$. Можно показать, что наши 4 части замощают этот параллелограмм.

Более конструктивный подход:

1. Возьмем часть $Q_A = AKON$.
2. Перенесем часть $Q_C = LCMO$ на вектор $\vec{MA} + \vec{LC}$. Нет, это сложно.
3. Перенесем $Q_C$ на вектор $\vec{KN}$. $K, L, M, N$ — середины. $\vec{KN} = \vec{KL}+\vec{LN}$. Тоже нет. $\vec{KN} = \frac{1}{2}(\vec{AD}+\vec{CB})$.

Проще всего показать это, собрав из частей два полигона, которые вместе образуют параллелограмм.

• Соединим $Q_A$ и $Q_B$, повернув $Q_B$ на $180^\circ$ вокруг $K$. Получим фигуру $P_1$.
• Соединим $Q_D$ и $Q_C$, повернув $Q_C$ на $180^\circ$ вокруг $M$. Получим фигуру $P_2$.

Можно доказать, что $P_1$ и $P_2$ конгруэнтны. Более того, они являются центрально-симметричными шестиугольниками. Если их приложить друг к другу подходящим образом, они образуют параллелограмм. Сторона $LO$ из $Q_B$ после поворота становится $L_1O_1$. Сторона $NO$ из $Q_D$ после поворота $Q_C$ не изменяется. Сторона $NO$ из $Q_D$ и сторона $L_1O_1$ из $P_1$ оказываются равными и параллельными. Если сдвинуть $P_2$ так, чтобы эти стороны совпали, то фигуры образуют параллелограмм.

Ответ: Доказательство основано на свойствах средних линий и центральной симметрии. Можно показать, что четыре части, полученные при разрезании выпуклого четырехугольника по средним линиям, можно перекомпоновать в новый четырехугольник. Противоположные стороны этого нового четырехугольника будут попарно равны и параллельны, так как они составлены из соответствующих отрезков. Например, одна пара противоположных сторон нового параллелограмма будет состоять из отрезков, равных по длине и параллельных средней линии $KN$ параллелограмма Вариньона, а другая пара — из отрезков, равных и параллельных средней линии $KL$. Таким образом, итоговая фигура является параллелограммом.