Тест 3, страница 31 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

Верно ли утверждение: «Если у четырехугольника диагонали равны, то это прямоугольник»? Если ваш ответ «нет», то приведите контрпример.

Нет, данное утверждение неверно.

Равенство диагоналей является необходимым свойством для прямоугольника (у любого прямоугольника диагонали равны), но не является достаточным. Это означает, что существуют четырехугольники с равными диагоналями, которые не являются прямоугольниками.

Чтобы опровергнуть утверждение, необходимо привести контрпример — то есть, показать фигуру, которая удовлетворяет условию (имеет равные диагонали), но не соответствует заключению (не является прямоугольником).

Контрпример

В качестве контрпримера можно взять равнобедренную (равнобокую) трапецию, которая не является прямоугольником.

Равнобедренная трапеция — это выпуклый четырехугольник, у которого одна пара противолежащих сторон параллельна (это основания), а две другие стороны (боковые стороны) равны между собой.

Одно из ключевых свойств равнобедренной трапеции заключается в том, что ее диагонали равны. Если рассмотреть равнобедренную трапецию ABCD с основаниями AD и BC ($AD \parallel BC$) и равными боковыми сторонами AB и CD ($AB = CD$), то ее диагонали AC и BD будут равны: $AC = BD$.

При этом данная фигура не является прямоугольником, поскольку:

1. Ее углы в общем случае не являются прямыми (не равны $90^\circ$).
2. У нее только одна пара параллельных сторон, в то время как у прямоугольника (который является частным случаем параллелограмма) — две пары.

Таким образом, равнобедренная трапеция является четырехугольником с равными диагоналями, но не является прямоугольником, что и доказывает ложность исходного утверждения.

Стоит отметить, что верным является следующее уточненное утверждение: «Если у параллелограмма диагонали равны, то это прямоугольник».

Ответ: Нет, утверждение неверно. Контрпримером является любая равнобедренная трапеция, не являющаяся прямоугольником.