Номер 50, страница 29 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

50. Составьте алгоритм построения циркулем и линейкой параллелограмма $ABCD$:

а) по двум диагоналям и стороне;

б) по двум диагоналям и высоте параллелограмма.

а) по двум диагоналям и стороне;

Пусть даны три отрезка, задающие длины диагоналей $d_1$, $d_2$ и стороны $a$ параллелограмма $ABCD$. Пусть $AC = d_1$, $BD = d_2$ и $AB = a$. Ключевое свойство параллелограмма заключается в том, что его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей буквой $O$. Тогда $AO = OC = \frac{1}{2}AC = \frac{d_1}{2}$ и $BO = OD = \frac{1}{2}BD = \frac{d_2}{2}$. Таким образом, задача сводится к построению треугольника $AOB$ по трем известным сторонам: $AB=a$, $AO=\frac{d_1}{2}$ и $BO=\frac{d_2}{2}$. После построения этого треугольника можно будет однозначно достроить весь параллелограмм.

Алгоритм построения:

1. С помощью циркуля и линейки разделим отрезки, задающие диагонали $d_1$ и $d_2$, пополам. Для этого для каждого отрезка построим его серединный перпендикуляр. В результате получим отрезки длиной $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$.
2. Построим треугольник $AOB$ по трем сторонам (длины $a$, $\frac{d_1}{2}$, $\frac{d_2}{2}$):
   1. Проведем произвольную прямую и отметим на ней точку $A$.
   2. Раствором циркуля, равным длине стороны $a$, проведем окружность с центром в точке $A$. Выберем на этой окружности любую точку и обозначим ее $B$. Соединим точки $A$ и $B$, получив сторону $AB$.
   3. Раствором циркуля, равным $\frac{d_1}{2}$, проведем дугу с центром в точке $A$.
   4. Раствором циркуля, равным $\frac{d_2}{2}$, проведем дугу с центром в точке $B$.
   5. Точку пересечения этих двух дуг обозначим $O$. Соединим точки $A$, $B$ и $O$. Треугольник $AOB$ построен. (Примечание: построение возможно, если выполняется неравенство треугольника: $|d_1 - d_2| < 2a < d_1 + d_2$).
3. Достроим параллелограмм, найдя вершины $C$ и $D$:
   1. Проведем луч $AO$ из точки $A$ через точку $O$. На этом луче отложим от точки $O$ отрезок $OC$, равный $AO$.
   2. Аналогично, проведем луч $BO$ из точки $B$ через точку $O$ и отложим на нем от точки $O$ отрезок $OD$, равный $BO$.
4. Последовательно соединим отрезками точки $A, B, C$ и $D$. Полученная фигура $ABCD$ является искомым параллелограммом, так как по построению ее диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам.

Ответ: Построение основано на свойстве диагоналей параллелограмма (делятся точкой пересечения пополам) и построении треугольника по трем сторонам ($a, \frac{d_1}{2}, \frac{d_2}{2}$).

б) по двум диагоналям и высоте параллелограмма.

Пусть даны три отрезка, задающие длины диагоналей $d_1$, $d_2$ и высоты $h$ параллелограмма $ABCD$. Пусть $AC = d_1$, $BD = d_2$. Высота $h$ — это перпендикулярное расстояние между параллельными прямыми, на которых лежат противоположные стороны (например, $AB$ и $CD$). Идея построения заключается в том, чтобы сначала построить две параллельные прямые на расстоянии $h$ друг от друга. Затем на этих прямых будут располагаться вершины параллелограмма, точное положение которых мы найдем, используя заданные длины диагоналей.

Алгоритм построения:

1. Построим две параллельные прямые $l$ и $m$, расстояние между которыми равно $h$:
   1. Проведем произвольную прямую $l$.
   2. Выберем на ней произвольную точку $P$ и восстановим в этой точке перпендикуляр к прямой $l$.
   3. На этом перпендикуляре от точки $P$ отложим отрезок длиной $h$, получив точку $Q$.
   4. Через точку $Q$ проведем прямую $m$, перпендикулярную отрезку $PQ$. По построению, $m \parallel l$.
2. Пусть сторона $AB$ будет лежать на прямой $m$, а сторона $CD$ — на прямой $l$. Выберем на прямой $m$ произвольную точку и обозначим ее как вершину $A$.
3. Найдем положение вершины $C$. Она должна лежать на прямой $l$ и находиться на расстоянии $d_1$ от точки $A$.
   1. Раствором циркуля, равным длине диагонали $d_1$, проведем окружность с центром в точке $A$.
   2. Точку пересечения этой окружности с прямой $l$ обозначим $C$. (Примечание: для существования решения необходимо, чтобы $d_1 \geq h$. Если $d_1 > h$, будет две точки пересечения, можно выбрать любую из них).
4. Найдем центр параллелограмма — точку $O$, которая является серединой диагонали $AC$. Для этого построим середину отрезка $AC$ (например, с помощью серединного перпендикуляра). Обозначим эту точку $O$.
5. Найдем положения вершин $B$ и $D$. Они лежат на второй диагонали, проходящей через точку $O$, причем $BO=OD=\frac{d_2}{2}$.
   1. Разделим отрезок $d_2$ пополам, чтобы получить отрезок длиной $\frac{d_2}{2}$.
   2. Вершина $B$ должна лежать на прямой $m$ и находиться на расстоянии $\frac{d_2}{2}$ от точки $O$. Проведем окружность с центром в точке $O$ и радиусом $\frac{d_2}{2}$.
   3. Точку пересечения этой окружности с прямой $m$ обозначим $B$. (Примечание: для существования решения необходимо, чтобы $d_2 \geq h$. Выбираем одну из возможных точек пересечения).
   4. Проведем луч $BO$ и на его продолжении за точку $O$ отложим отрезок $OD$, равный $BO$. По построению, точка $D$ окажется на прямой $l$.
6. Последовательно соединим отрезками точки $A, B, C$ и $D$. Фигура $ABCD$ — искомый параллелограмм, так как его вершины $A, B$ лежат на прямой $m$, а $C, D$ — на параллельной ей прямой $l$, и диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в своих серединах.

Ответ: Построение основано на размещении вершин параллелограмма на двух параллельных прямых, отстоящих друг от друга на расстояние $h$, с последующим использованием длин диагоналей для нахождения точного положения вершин.