Номер 45, страница 28 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

45. Медиану $BM$ треугольника $ABC$ продолжили за точку $M$ на отрезок $MD$, равный отрезку $BM$. Докажите, что $ABCD$ — параллелограмм.

Дано:

Дан треугольник $\triangle ABC$.

$BM$ — медиана, проведенная к стороне $AC$. По определению медианы, точка $M$ является серединой отрезка $AC$, следовательно, $AM = MC$.

Медиана $BM$ продолжена за точку $M$ до точки $D$ так, что отрезок $MD$ равен отрезку $BM$, то есть $BM = MD$.

Доказать:

Четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм.

Доказательство:

1. Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. Отрезки $AC$ и $BD$ являются его диагоналями, которые пересекаются в точке $M$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle AMB$ и $\triangle CMD$.

• $AM = MC$ (так как $BM$ — медиана по условию).
• $BM = MD$ (по условию).
• $\angle AMB = \angle CMD$ (как вертикальные углы).

Следовательно, $\triangle AMB = \triangle CMD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

3. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов:

• $AB = CD$ (как соответственные стороны).
• $\angle BAM = \angle DCM$ (или $\angle BAC = \angle DCA$) (как соответственные углы).

4. Углы $\angle BAC$ и $\angle DCA$ являются внутренними накрест лежащими углами при пересечении прямых $AB$ и $CD$ секущей $AC$. Поскольку эти углы равны, то прямые $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$).

5. Мы получили, что в четырехугольнике $ABCD$ две противолежащие стороны ($AB$ и $CD$) равны и параллельны.

По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом. Ответ: Следовательно, четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм, что и требовалось доказать.

Альтернативное доказательство (через свойство диагоналей):

Рассмотрим диагонали $AC$ и $BD$ четырехугольника $ABCD$. Они пересекаются в точке $M$.

По условию, $BM$ — медиана, значит, она делит сторону $AC$ пополам: $AM = MC$.

Также по условию, $BM = MD$.

Таким образом, диагонали $AC$ и $BD$ в точке пересечения $M$ делятся пополам.

По признаку параллелограмма, если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм. Ответ: Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм.