Номер 40, страница 28 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

40. Дан параллелограмм $ABCD$ (рис. 38). На его диагонали $BD$ отложены равные отрезки $BG$ и $DF$. Докажите, что четырехугольник $AGCF$ — параллелограмм.

Рис. 38

Для доказательства того, что четырехугольник AGCF является параллелограммом, воспользуемся одним из его признаков: если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Дано:

1. ABCD — параллелограмм.

2. BD — диагональ.

3. Точки G и F лежат на диагонали BD.

4. $BG = DF$.

Доказать:

AGCF — параллелограмм.

Доказательство:

1. Рассмотрим параллелограмм ABCD. Его диагонали AC и BD пересекаются в точке, назовем ее O.

2. По свойству диагоналей параллелограмма, они точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что точка O является серединой как диагонали AC, так и диагонали BD.

Следовательно, у нас есть два равенства:

$AO = OC$

$BO = OD$

3. Теперь рассмотрим отрезки GO и FO, которые являются частями диагонали GF четырехугольника AGCF.

Так как точка G лежит на отрезке BO, мы можем выразить длину отрезка GO:

$GO = BO - BG$

Так как точка F лежит на отрезке DO, мы можем выразить длину отрезка FO:

$FO = DO - DF$

4. Мы знаем, что $BO = OD$ (из свойства параллелограмма ABCD) и, по условию задачи, $BG = DF$.

Поскольку правые части выражений для GO и FO равны (так как они состоят из попарно равных отрезков), то равны и левые части:

$GO = FO$

5. Равенство $GO = FO$ означает, что точка O является серединой отрезка GF. Ранее мы установили, что точка O также является серединой отрезка AC ($AO = OC$).

Таким образом, в четырехугольнике AGCF диагонали AC и GF пересекаются в точке O, и эта точка делит каждую из них пополам.

6. Согласно признаку параллелограмма, если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является параллелограммом.

Следовательно, четырехугольник AGCF — параллелограмм, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник AGCF является параллелограммом, так как его диагонали AC и GF пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.