Номер 43, страница 28 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

43. У выпуклого четырехугольника ABCD $AB = CD = 8$ см, $\angle ABD = \angle CDB$, диагонали пересекаются в точке $O$, $P_{ABO} = 20$ см, $P_{BOC} = 22$ см. Найдите периметр этого четырехугольника.

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. По условию задачи дано, что $AB = CD = 8$ см и $\angle ABD = \angle CDB$. Углы $\angle ABD$ и $\angle CDB$ являются внутренними накрест лежащими для прямых $AB$ и $CD$ при секущей $BD$. Так как эти углы равны, то прямые $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$). Четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны и параллельны, является параллелограммом. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм.

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны ($AD = BC$), а диагонали в точке пересечения $O$ делятся пополам ($AO = OC$, $BO = OD$).

Периметр параллелограмма $ABCD$ равен $P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 2(AB + BC)$.

По условию, периметр треугольника $ABO$ равен $P_{ABO} = AB + AO + BO = 20$ см. Подставив известное значение $AB=8$ см, получим: $8 + AO + BO = 20$, откуда $AO + BO = 12$ см.

Также по условию, периметр треугольника $BOC$ равен $P_{BOC} = BC + BO + OC = 22$ см. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, то $AO = OC$. Мы можем заменить $OC$ на $AO$ в формуле периметра $P_{BOC}$: $BC + BO + AO = 22$ см.

Теперь у нас есть выражение $BC + (BO + AO) = 22$. Мы уже нашли, что $AO + BO = 12$ см. Подставим это значение в уравнение:

$BC + 12 = 22$

Решая это уравнение, находим длину стороны $BC$:

$BC = 22 - 12 = 10$ см.

Наконец, вычислим периметр четырехугольника $ABCD$, зная длины его смежных сторон $AB=8$ см и $BC=10$ см:

$P_{ABCD} = 2(AB + BC) = 2(8 + 10) = 2 \cdot 18 = 36$ см.

Ответ: 36 см.