Номер 46, страница 28 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

46. Четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм (рис. 39), $BB_1 = AB$, $CC_1 = BC$, $DD_1 = CD$, $AA_1 = DA$. Докажите, что четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ — параллелограмм.

Рис. 39

Для доказательства того, что четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ является параллелограммом, воспользуемся методом векторов. Четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда суммы векторов его противоположных вершин равны. Таким образом, нам необходимо доказать, что выполняется векторное равенство:

$\vec{A_1} + \vec{C_1} = \vec{B_1} + \vec{D_1}$

Выразим векторы вершин $A_1, B_1, C_1, D_1$ через векторы вершин исходного параллелограмма $A, B, C, D$. Пусть начало всех векторов находится в произвольной точке пространства O.

$\vec{A_1} = \vec{A} + \vec{AA_1}$
$\vec{B_1} = \vec{B} + \vec{BB_1}$
$\vec{C_1} = \vec{C} + \vec{CC_1}$
$\vec{D_1} = \vec{D} + \vec{DD_1}$

Подставим эти выражения в доказываемое равенство:

$(\vec{A} + \vec{AA_1}) + (\vec{C} + \vec{CC_1}) = (\vec{B} + \vec{BB_1}) + (\vec{D} + \vec{DD_1})$

Сгруппируем слагаемые:

$(\vec{A} + \vec{C}) + (\vec{AA_1} + \vec{CC_1}) = (\vec{B} + \vec{D}) + (\vec{BB_1} + \vec{DD_1})$

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его диагонали в точке пересечения делятся пополам. Это свойство в векторной форме записывается как $\vec{A} + \vec{C} = \vec{B} + \vec{D}$. Учитывая это, мы можем сократить равенство до следующего:

$\vec{AA_1} + \vec{CC_1} = \vec{BB_1} + \vec{DD_1}$

Теперь проанализируем векторы $\vec{AA_1}, \vec{BB_1}, \vec{CC_1}, \vec{DD_1}$, которые задают построение новых точек. Из условия задачи ($AA_1 = DA$, $BB_1 = AB$ и т.д.) и рисунка 39 следует, что построение точек $A_1, B_1, C_1, D_1$ является однотипным. Это можно интерпретировать как поворот вектора соответствующей стороны на один и тот же угол $\phi$. Определим, какие векторы сторон соответствуют каким построениям. Условие связывает вершину (например, $A$) со стороной (например, $DA$). Естественно предположить, что вектор построения $\vec{AA_1}$ получается из вектора, идущего из вершины $A$ к другому концу стороны $DA$, то есть из вектора $\vec{AD}$.

Следуя этой логике для всех вершин:

• Вектор $\vec{AA_1}$ получается из вектора $\vec{AD}$ поворотом на угол $\phi$ (их длины равны по условию $AA_1 = DA = AD$).
• Вектор $\vec{BB_1}$ получается из вектора $\vec{BA}$ поворотом на угол $\phi$ (длины равны $BB_1 = AB = BA$).
• Вектор $\vec{CC_1}$ получается из вектора $\vec{CB}$ поворотом на угол $\phi$ (длины равны $CC_1 = BC = CB$).
• Вектор $\vec{DD_1}$ получается из вектора $\vec{DC}$ поворотом на угол $\phi$ (длины равны $DD_1 = CD = DC$).

Рассмотрим сумму $\vec{AA_1} + \vec{CC_1}$. Вектор $\vec{AA_1}$ — это результат поворота вектора $\vec{AD}$ на угол $\phi$. Вектор $\vec{CC_1}$ — это результат поворота вектора $\vec{CB}$ на тот же угол. В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны и параллельны, поэтому $\vec{AD} = -\vec{CB}$. Поворот двух противоположных векторов на один и тот же угол дает в результате два противоположных вектора. Следовательно, $\vec{AA_1} = -\vec{CC_1}$, откуда получаем:

$\vec{AA_1} + \vec{CC_1} = \vec{0}$

Теперь рассмотрим сумму $\vec{BB_1} + \vec{DD_1}$. Вектор $\vec{BB_1}$ получается поворотом вектора $\vec{BA}$, а вектор $\vec{DD_1}$ — поворотом вектора $\vec{DC}$. В параллелограмме $ABCD$ стороны $AB$ и $DC$ параллельны и равны по длине, а векторы $\vec{BA}$ и $\vec{DC}$ направлены в противоположные стороны, то есть $\vec{BA} = -\vec{DC}$. Аналогично предыдущему случаю, поворот этих двух векторов на один и тот же угол $\phi$ дает два противоположных вектора: $\vec{BB_1} = -\vec{DD_1}$. Отсюда:

$\vec{BB_1} + \vec{DD_1} = \vec{0}$

Мы получили, что обе суммы равны нулевому вектору: $\vec{AA_1} + \vec{CC_1} = \vec{0}$ и $\vec{BB_1} + \vec{DD_1} = \vec{0}$.

Таким образом, равенство $\vec{AA_1} + \vec{CC_1} = \vec{BB_1} + \vec{DD_1}$ выполняется, так как $\vec{0} = \vec{0}$.

Это доказывает, что $\vec{A_1} + \vec{C_1} = \vec{B_1} + \vec{D_1}$, а значит, середины диагоналей $A_1C_1$ и $B_1D_1$ совпадают. Следовательно, четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ является параллелограммом.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ является параллелограммом.