Номер 51, страница 29 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

51. В треугольнике $ABC$ высоты $BH$ и $AF$ пересекаются в точке $O$. Из точки $C$ к прямой $AC$ в одну полуплоскость с точкой $B$ восстановлен перпендикуляр $CK$, равный отрезку $BO$. Докажите, что $BK \perp AB$.

Для доказательства того, что $BK \perp AB$, мы покажем, что скалярное произведение векторов $\vec{BK}$ и $\vec{BA}$ равно нулю. Мы будем использовать геометрический подход, основанный на свойствах ортоцентра и описанной окружности.

Доказательство:

1. Рассмотрим описанную окружность $\Omega$ треугольника $ABC$. Пусть $D$ — точка на этой окружности, диаметрально противоположная вершине $B$.

2. Так как $BD$ является диаметром окружности $\Omega$, угол $\angle BAD$, опирающийся на этот диаметр, является прямым. Следовательно, $\angle BAD = 90^\circ$, что означает, что прямая $AD$ перпендикулярна прямой $AB$ ($AD \perp AB$).

3. Теперь докажем, что четырехугольник $AOCD$ является параллелограммом, где $O$ — ортоцентр треугольника $ABC$.

• $AF$ — высота, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$, поэтому $AF \perp BC$. Так как $O$ — точка пересечения высот, $O$ лежит на $AF$, следовательно, $AO \perp BC$. Поскольку $D$ — точка на окружности, диаметрально противоположная $B$, то $\angle BCD = 90^\circ$, то есть $CD \perp BC$. Из $AO \perp BC$ и $CD \perp BC$ следует, что $AO \parallel CD$.
• $CM$ — высота, проведенная из вершины $C$ к стороне $AB$ (пусть $M$ — её основание), поэтому $CM \perp AB$. Ортоцентр $O$ лежит на $CM$, следовательно, $CO \perp AB$. Как мы показали в пункте 2, $AD \perp AB$. Из $CO \perp AB$ и $AD \perp AB$ следует, что $CO \parallel AD$.
• Поскольку у четырехугольника $AOCD$ противоположные стороны попарно параллельны ($AO \parallel CD$ и $CO \parallel AD$), он является параллелограммом.

4. Из того, что $AOCD$ — параллелограмм, следует равенство векторов: $\vec{BK} = \vec{AD}$. Нет, это неверно. Из того, что AOCD - параллелограмм, следует, что $\vec{AD} = \vec{OC}$.

5. Теперь рассмотрим векторы $\vec{OB}$ и $\vec{CK}$.

• По условию, $CK \perp AC$. Высота $BH$ также перпендикулярна $AC$ ($BH \perp AC$). Значит, векторы $\vec{CK}$ и $\vec{BH}$ коллинеарны. Так как ортоцентр $O$ лежит на высоте $BH$, вектор $\vec{BO}$ (или $\vec{OB}$) также коллинеарен $\vec{CK}$.
• По условию, длины отрезков $CK$ и $BO$ равны, то есть $|\vec{CK}| = |\vec{BO}|$.
• Так как векторы коллинеарны и их модули равны, то либо $\vec{CK} = \vec{BO}$, либо $\vec{CK} = -\vec{BO} = \vec{OB}$.
• Направление векторов зависит от типа угла $\angle B$. Точка $K$ лежит в той же полуплоскости относительно $AC$, что и $B$. Условимся, что эта полуплоскость находится «сверху» от $AC$. Тогда вектор $\vec{CK}$ направлен «вверх».
  • Если $\angle B$ — острый, то ортоцентр $O$ лежит между $B$ и $H$. Вектор $\vec{BO} = \vec{O}-\vec{B}$ направлен «вниз», в сторону прямой $AC$. Вектор $\vec{OB} = \vec{B}-\vec{O}$ направлен «вверх». В этом случае $\vec{CK} = \vec{OB}$.
  • Если $\angle B$ — тупой, то точка $B$ лежит между $O$ и $H$. Вектор $\vec{BO} = \vec{O}-\vec{B}$ направлен «вверх», от прямой $AC$. В этом случае $\vec{CK} = \vec{BO}$.

6. Рассмотрим оба случая.

• Случай 1: $\angle B$ — острый или прямой. В этом случае $\vec{CK} = \vec{OB}$. Это векторное равенство означает, что четырехугольник $OCKB$ — параллелограмм. Из свойств параллелограмма следует, что $\vec{BK} = \vec{OC}$. Из пункта 4 мы знаем, что $\vec{AD} = \vec{OC}$ (так как $AOCD$ — параллелограмм). Следовательно, $\vec{BK} = \vec{AD}$. Это означает, что $BK \parallel AD$. Так как $AD \perp AB$ (из пункта 2), то и $BK \perp AB$.
• Случай 2: $\angle B$ — тупой. В этом случае $\vec{CK} = \vec{BO}$. Это векторное равенство означает, что четырехугольник $BOCK$ — параллелограмм. Из свойств параллелограмма следует, что $\vec{BK} = \vec{OC}$. Как и в предыдущем случае, из параллелограмма $AOCD$ мы имеем $\vec{AD} = \vec{OC}$. Следовательно, $\vec{BK} = \vec{AD}$. Это означает, что $BK \parallel AD$. Так как $AD \perp AB$ (из пункта 2), то и $BK \perp AB$.

Таким образом, во всех возможных случаях мы приходим к выводу, что $BK \perp AB$.

Ответ: Что и требовалось доказать.