Номер 47, страница 28 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

47. Точки $M, N, P, K$ — середины сторон параллелограмма $ABCD$ (рис. 40). Докажите, что закрашенный четырехугольник — параллелограмм.

Рис. 40

Для доказательства того, что закрашенный четырехугольник является параллелограммом, мы докажем, что его противолежащие стороны попарно параллельны. Закрашенный четырехугольник образован пересечением отрезков AN, BP, CK и DM (как показано на рисунке, отрезки соединяют вершины с серединами противолежащих или смежных сторон, но для доказательства важны именно отрезки, формирующие фигуру: AN, CK, BP и DM).

Сначала докажем параллельность прямых BP и DM. Рассмотрим четырехугольник DMBP. По условию, ABCD — параллелограмм, следовательно, его противолежащие стороны равны и параллельны: $AB = CD$ и $AB \parallel CD$. Точки M и P являются серединами сторон AB и CD соответственно. Отсюда следует, что отрезки MB и DP параллельны (так как они лежат на параллельных прямых AB и CD) и равны:$MB = \frac{1}{2}AB$$DP = \frac{1}{2}CD$Поскольку $AB = CD$, то $MB = DP$. Так как в четырехугольнике DMBP противолежащие стороны MB и DP равны и параллельны, то по признаку параллелограмма, DMBP является параллелограммом. Следовательно, его другие противолежащие стороны также параллельны: $BP \parallel DM$. Одна пара противолежащих сторон закрашенного четырехугольника лежит на этих параллельных прямых, значит, они параллельны.

Теперь докажем параллельность прямых AN и CK. Рассмотрим четырехугольник AKCN. По условию, ABCD — параллелограмм, следовательно, $AD = BC$ и $AD \parallel BC$. Точки K и N являются серединами сторон AD и BC соответственно. Отсюда следует, что отрезки AK и NC параллельны (так как они лежат на параллельных прямых AD и BC) и равны:$AK = \frac{1}{2}AD$$NC = \frac{1}{2}BC$Поскольку $AD = BC$, то $AK = NC$. Так как в четырехугольнике AKCN противолежащие стороны AK и NC равны и параллельны, то AKCN является параллелограммом. Следовательно, $AN \parallel CK$. Вторая пара противолежащих сторон закрашенного четырехугольника лежит на этих параллельных прямых, значит, они также параллельны.

Мы доказали, что обе пары противолежащих сторон закрашенного четырехугольника параллельны. По определению, четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Закрашенный четырехугольник является параллелограммом, так как его противолежащие стороны попарно параллельны. Первая пара сторон лежит на параллельных прямых BP и DM (поскольку DMBP — параллелограмм), а вторая пара сторон лежит на параллельных прямых AN и CK (поскольку AKCN — параллелограмм).