Номер 49, страница 29 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

49. Дан параллелограмм $ABCD$, $AB = 10$ см, $AD = 16$ см. Биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $K$, а биссектрисы углов $C$ и $D$ – в точке $M$. Точки $K$ и $M$ лежат внутри параллелограмма. Найдите длину отрезка $MK$.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$ со сторонами $AB = 10$ см и $AD = 16$ см. Противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому $CD = AB = 10$ см и $BC = AD = 16$ см.

1. Рассмотрим точку $K$ — точку пересечения биссектрис углов $A$ и $B$. Проведем через точку $K$ прямую $GH$, параллельную сторонам $AD$ и $BC$, где точка $G$ лежит на стороне $AB$, а точка $H$ — на стороне $CD$.

2. Поскольку $GK \parallel AD$, углы $\angle DAK$ и $\angle AKG$ являются накрест лежащими при секущей $AK$. Следовательно, $\angle DAK = \angle AKG$.
Так как $AK$ — биссектриса угла $A$, то $\angle DAK = \angle GAK$.
Из этих двух равенств следует, что $\angle GAK = \angle AKG$. Таким образом, треугольник $\triangle AGK$ является равнобедренным с основанием $AK$, и, следовательно, $AG = GK$.

3. Аналогично, поскольку $GK \parallel BC$, углы $\angle CBK$ и $\angle BKG$ являются накрест лежащими при секущей $BK$. Следовательно, $\angle CBK = \angle BKG$.
Так как $BK$ — биссектриса угла $B$, то $\angle CBK = \angle GBK$.
Из этих двух равенств следует, что $\angle GBK = \angle BKG$. Таким образом, треугольник $\triangle GBK$ является равнобедренным с основанием $BK$, и, следовательно, $GB = GK$.

4. Мы получили, что $AG = GK$ и $GB = GK$. Отсюда следует, что $AG = GB$. Это означает, что точка $G$ — середина стороны $AB$.
Длина отрезка $GK$ равна: $GK = AG = \frac{1}{2}AB = \frac{10}{2} = 5$ см.

5. Теперь рассмотрим точку $M$ — точку пересечения биссектрис углов $C$ и $D$. Точка $M$ также лежит на прямой $GH$, так как она будет равноудалена от сторон $AD$ и $BC$.

6. Рассуждая аналогично для точки $M$ и стороны $CD$:
Поскольку $HM \parallel AD$, то $\angle ADM = \angle DMH$. Так как $DM$ — биссектриса, $\angle ADM = \angle CDM$. Следовательно, $\angle CDM = \angle DMH$, и треугольник $\triangle DHM$ является равнобедренным, $DH = HM$.
Поскольку $HM \parallel BC$, то $\angle BCM = \angle CMH$. Так как $CM$ — биссектриса, $\angle BCM = \angle DCM$. Следовательно, $\angle DCM = \angle CMH$, и треугольник $\triangle CHM$ является равнобедренным, $CH = HM$.

7. Из равенств $DH = HM$ и $CH = HM$ следует, что $DH = CH$. Это означает, что точка $H$ — середина стороны $CD$.
Длина отрезка $HM$ равна: $HM = DH = \frac{1}{2}CD = \frac{10}{2} = 5$ см.

8. Отрезок $GH$ соединяет середины сторон $AB$ и $CD$. Его длина равна длине сторон $AD$ и $BC$, то есть $GH = AD = 16$ см.
Точки $K$ и $M$ лежат на отрезке $GH$. Длину отрезка $MK$ можно найти, вычитая из общей длины $GH$ длины отрезков $GK$ и $HM$: $MK = GH - GK - HM = 16 - 5 - 5 = 6$ см.

Найдите длину отрезка MK. Ответ: 6.