Номер 41, страница 28 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

41. $ABCD$ — параллелограмм, $K$ — середина стороны $AB$, $M$ — середина стороны $DC$. Докажите, что:

а) $AKMD$ — параллелограмм;

б) $KBMD$ — параллелограмм.

а) AKMD — параллелограмм;

Рассмотрим четырехугольник $AKMD$. Для того чтобы доказать, что он является параллелограммом, воспользуемся признаком параллелограмма: если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
1. По условию, $ABCD$ — параллелограмм. Из свойства параллелограмма следует, что его противоположные стороны параллельны и равны. Таким образом, $AB \parallel DC$ и $AB = DC$.
2. Так как точка $K$ принадлежит стороне $AB$, а точка $M$ — стороне $DC$, и вся прямая $AB$ параллельна прямой $DC$, то отрезки, лежащие на этих прямых, также параллельны. Следовательно, $AK \parallel MD$.
3. По условию, $K$ — середина стороны $AB$, значит, длина отрезка $AK$ равна половине длины стороны $AB$: $AK = \frac{1}{2}AB$.
4. Аналогично, по условию, $M$ — середина стороны $DC$, значит, $MD = \frac{1}{2}DC$.
5. Поскольку $AB = DC$, то и половины этих сторон равны между собой: $AK = MD$.
Итак, мы установили, что в четырехугольнике $AKMD$ противоположные стороны $AK$ и $MD$ параллельны ($AK \parallel MD$) и равны ($AK = MD$). Следовательно, по признаку параллелограмма, четырехугольник $AKMD$ является параллелограммом.
Ответ: Доказано, что $AKMD$ — параллелограмм.

б) KBMD — параллелограмм.

Рассмотрим четырехугольник $KBMD$. Доказательство аналогично пункту а).
1. Из свойств параллелограмма $ABCD$ известно, что $AB \parallel DC$ и $AB = DC$.
2. Сторона $KB$ четырехугольника $KBMD$ является частью стороны $AB$ параллелограмма $ABCD$. Сторона $MD$ является частью стороны $DC$. Так как $AB \parallel DC$, то и $KB \parallel MD$.
3. Так как $K$ — середина $AB$, то $KB = \frac{1}{2}AB$.
4. Так как $M$ — середина $DC$, то $MD = \frac{1}{2}DC$.
5. Из равенства $AB = DC$ следует равенство их половин: $KB = MD$.
Таким образом, в четырехугольнике $KBMD$ две противоположные стороны $KB$ и $MD$ равны и параллельны. Следовательно, по признаку параллелограмма, $KBMD$ является параллелограммом.
Ответ: Доказано, что $KBMD$ — параллелограмм.