Тест 1, страница 25 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 1

Какой из изображенных на рисунках четырехугольников не является параллелограммом?

а) 1); б) 2); в) 3); г) все являются.

1) $4,1$

$5,2$

$5,2$

$4,1$

2) $3,5$

$3,5$

$5$

$5$

3) $6$

$85^\circ$

$85^\circ$

Для определения, какой из четырехугольников не является параллелограммом, необходимо проверить для каждой фигуры выполнение одного из признаков параллелограмма.

Признаки параллелограмма:

• Если в четырехугольнике две пары противолежащих сторон равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
• Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
• Если в четырехугольнике одна пара противолежащих сторон равна и параллельна, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Рассмотрим каждый рисунок:

1) В данном четырехугольнике указаны длины всех сторон. Одна пара противолежащих сторон имеет длину 4,1. Другая пара противолежащих сторон имеет длину 5,2. Так как в четырехугольнике обе пары противолежащих сторон равны ($4,1 = 4,1$ и $5,2 = 5,2$), то по первому признаку этот четырехугольник является параллелограммом.

2) В этом четырехугольнике проведены диагонали. Из рисунка видно, что одна диагональ точкой пересечения делится на два отрезка длиной 5 каждый. Вторая диагональ делится на два отрезка длиной 3,5 каждый. Поскольку диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то по второму признаку этот четырехугольник является параллелограммом.

3) В этом четырехугольнике известны длины двух противолежащих сторон (равны 6) и углы, которые образует с этими сторонами диагональ (оба угла по $85^{\circ}$). Пусть вершины четырехугольника A, B, C, D, а диагональ AC. Дано: $AD = BC = 6$ и $\angle DAC = \angle BCA = 85^{\circ}$. Углы $\angle DAC$ и $\angle BCA$ являются накрест лежащими при прямых AD и BC и секущей AC. Так как эти углы равны, то прямые AD и BC параллельны ($AD \parallel BC$). Таким образом, в четырехугольнике есть пара противолежащих сторон, которые равны ($AD = BC$) и параллельны ($AD \parallel BC$). По третьему признаку, этот четырехугольник также является параллелограммом.

При внимательном рассмотрении всех трех случаев, можно сделать вывод, что все три фигуры соответствуют признакам параллелограмма. Однако, в задачах такого типа часто предполагается наличие фигуры, которая не удовлетворяет условиям. Взглянем на задачу с другой стороны.

В фигуре 3 даны углы по $85^{\circ}$. Это углы, близкие к прямому. Однако на рисунке эти углы изображены как острые, что создает сильное визуальное противоречие. В то время как фигуры 1 и 2 изображены правдоподобно, фигура 3 с указанными данными не может выглядеть так, как нарисовано. В некоторых случаях, если данные на чертеже приводят к геометрическому противоречию или невозможной конфигурации (даже если формально признаки выполняются), такую фигуру могут считать некорректно заданной. Тем не менее, основываясь строго на геометрических признаках, все три фигуры являются параллелограммами.

Если предположить, что в задаче есть только один правильный ответ и допущена неточность в условии или рисунке, то наиболее вероятным кандидатом на исключение является фигура 3 из-за несоответствия числовых данных и изображения. Если же следовать строгим математическим определениям, то все фигуры являются параллелограммами.

В рамках стандартного теста правильным решением будет указать, что все фигуры являются параллелограммами.

Вывод: Все три представленных четырехугольника являются параллелограммами, так как для каждого из них выполняется один из достаточных признаков параллелограмма.

Следовательно, ни один из них не подходит под условие "не является параллелограммом". Это означает, что правильный вариант ответа — "г) все являются".

Ответ: г) все являются.