Номер 16, страница 16 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

16. Определите, какое наибольшее число острых углов может иметь выпуклый многоугольник.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством внешних углов выпуклого многоугольника. Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, всегда равна $360^\circ$.

Внешний угол многоугольника при данной вершине является смежным с внутренним углом при этой же вершине. Если внутренний угол равен $\alpha$, то соответствующий ему внешний угол $\beta$ вычисляется по формуле $\beta = 180^\circ - \alpha$.

По определению, острый угол — это угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$. Пусть в выпуклом многоугольнике есть острый внутренний угол $\alpha$, то есть $\alpha < 90^\circ$.

Выясним, каким в этом случае будет соответствующий ему внешний угол $\beta$. Так как $\alpha < 90^\circ$, то для внешнего угла $\beta$ получаем: $\beta = 180^\circ - \alpha > 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Это означает, что каждому острому внутреннему углу выпуклого многоугольника соответствует тупой внешний угол (угол больше $90^\circ$).

Допустим, выпуклый многоугольник может иметь $k$ острых внутренних углов. Тогда ему соответствуют $k$ внешних углов, каждый из которых больше $90^\circ$.

Сумма этих $k$ внешних углов будет строго больше, чем $k$, умноженное на $90^\circ$. С другой стороны, сумма всех внешних углов многоугольника равна ровно $360^\circ$. Поскольку все внешние углы выпуклого многоугольника положительны, сумма любой их группы не может превышать общую сумму $360^\circ$.

Таким образом, мы можем составить следующее строгое неравенство: $k \times 90^\circ < 360^\circ$

Для нахождения $k$ разделим обе части неравенства на $90^\circ$: $k < \frac{360}{90}$ $k < 4$

Так как $k$ — это количество углов, оно должно быть целым числом. Наибольшее целое число, удовлетворяющее условию $k < 4$, — это 3. Следовательно, выпуклый многоугольник может иметь не более трёх острых углов.

Чтобы убедиться, что значение 3 достижимо, достаточно привести пример. Любой остроугольный треугольник (например, равносторонний с тремя углами по $60^\circ$) является выпуклым многоугольником и имеет ровно три острых угла.

Наибольшее число острых углов, которое может иметь выпуклый многоугольник: Ответ: 3