Номер 13, страница 16 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

13. $ABCD$ — выпуклый четырехугольник, $\angle A = 80^\circ$, $\angle D = 70^\circ$. Найдите угол между биссектрисами углов $B$ и $C$, обращенный к стороне $BC$.

Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$. Для четырехугольника $ABCD$ это можно записать в виде формулы: $ \angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ $

Согласно условию задачи, $ \angle A = 80^\circ $ и $ \angle D = 70^\circ $. Мы можем использовать эти значения, чтобы найти сумму двух других углов, $ \angle B $ и $ \angle C $: $ \angle B + \angle C = 360^\circ - (\angle A + \angle D) $ $ \angle B + \angle C = 360^\circ - (80^\circ + 70^\circ) $ $ \angle B + \angle C = 360^\circ - 150^\circ $ $ \angle B + \angle C = 210^\circ $

Пусть биссектрисы углов $B$ и $C$ пересекаются в точке $O$. Эти биссектрисы вместе со стороной $BC$ образуют треугольник $BOC$. Угол, который необходимо найти, — это угол $ \angle BOC $, так как он обращен к стороне $BC$.

По определению, биссектриса делит угол пополам. Следовательно, углы в треугольнике $BOC$ при основании $BC$ равны: $ \angle OBC = \frac{\angle B}{2} $ и $ \angle OCB = \frac{\angle C}{2} $.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Для треугольника $BOC$ имеем: $ \angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^\circ $

Подставим выражения для углов $ \angle OBC $ и $ \angle OCB $: $ \angle BOC + \frac{\angle B}{2} + \frac{\angle C}{2} = 180^\circ $ $ \angle BOC + \frac{\angle B + \angle C}{2} = 180^\circ $

Теперь мы можем подставить найденное ранее значение суммы $ \angle B + \angle C = 210^\circ $ в это уравнение: $ \angle BOC + \frac{210^\circ}{2} = 180^\circ $ $ \angle BOC + 105^\circ = 180^\circ $

Наконец, вычисляем искомый угол $ \angle BOC $: $ \angle BOC = 180^\circ - 105^\circ $ $ \angle BOC = 75^\circ $

13. Ответ: $75$