Номер 9, страница 15 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

9. Вершины $A$, $B$ и $C$ некоторого четырехугольника находятся в узлах тетрадной сетки (рис. 8). Найдите двумя способами величину угла при четвертой вершине четырехугольника, которая недоступна.

Рис. 8

Для решения задачи введем систему координат. Пусть точка A находится в начале координат (0, 0). Примем сторону одной клетки сетки за единицу. Тогда вершины, указанные на рисунке, будут иметь следующие координаты:

• A = (0, 0)
• B = (0, 2)
• C = (2, 4)

Четырехугольник ABCD имеет четвертую вершину D, которая является точкой пересечения прямых, проходящих через стороны AD и CD. Из рисунка видно, что сторона AD лежит на горизонтальной прямой (оси Ox), а сторона CD проходит через точку C и имеет определенный наклон. Наклон стороны CD определяется отрезком, выходящим из точки C: он смещается на 2 клетки вправо и на 1 клетку вниз. Таким образом, мы можем определить и саму вершину D, и все углы четырехугольника.

Сумма углов любого выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$. То есть, $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$. Найдем угол при вершине D двумя способами.

Способ 1: Через вычисление остальных углов четырехугольника

Этот способ заключается в нахождении углов A, B и C, и последующем вычислении угла D по формуле $\angle D = 360^\circ - (\angle A + \angle B + \angle C)$.

1. Найдем угол A. Сторона AB лежит на вертикальной оси, а сторона AD — на горизонтальной. Следовательно, угол между ними прямой: $\angle A = 90^\circ$.

2. Найдем угол B. Угол B ($\angle ABC$) образован сторонами AB и BC. Проведем через точку B горизонтальную прямую. Угол между этой прямой и вертикальной стороной AB равен $90^\circ$. Сторона BC соединяет точки B(0, 2) и C(2, 4). Ее вектор $\vec{BC} = (2-0, 4-2) = (2, 2)$. Этот вектор образует с горизонтальной прямой угол $45^\circ$, так как его компоненты по x и y равны. Таким образом, внутренний угол четырехугольника при вершине B равен сумме этих углов: $\angle B = 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ$.

3. Найдем угол C. Угол C ($\angle BCD$) образован сторонами BC и CD. Направление стороны BC, как мы выяснили, составляет $45^\circ$ с горизонталью. Направление стороны CD задано отрезком, идущим на 2 клетки вправо и 1 клетку вниз. Найдем угол $\alpha$, который эта сторона образует с горизонталью. Тангенс этого угла (по модулю) равен отношению противолежащего катета к прилежащему в соответствующем прямоугольном треугольнике: $\tan(\alpha) = 1/2$. Внутренний угол C можно найти как $180^\circ$ минус сумма углов, которые стороны BC и CD образуют с горизонтальной прямой, проведенной через точку C: $\angle C = 180^\circ - (45^\circ + \arctan(1/2))$.

4. Сложим углы. $\angle A + \angle B + \angle C = 90^\circ + 135^\circ + (180^\circ - 45^\circ - \arctan(1/2)) = 225^\circ + 135^\circ - \arctan(1/2) = 360^\circ - \arctan(1/2)$.

5. Найдем угол D. $\angle D = 360^\circ - (\angle A + \angle B + \angle C) = 360^\circ - (360^\circ - \arctan(1/2)) = \arctan(1/2)$.

Значение этого угла в градусах не является целым числом: $\arctan(1/2) \approx 26.565^\circ$.

Ответ: 26.

Способ 2: Через прямое определение угла D

Этот способ заключается в определении прямых, образующих угол D, и вычислении угла между ними.

1. Определим прямые DA и DC. Прямая DA, как видно из рисунка, является горизонтальной осью, ее уравнение $y=0$. Прямая DC проходит через точку C(2, 4), а ее направление задается вектором $(2, -1)$. Это значит, что ее угловой коэффициент (тангенс угла наклона) равен $k = -1/2$. Уравнение прямой DC: $y - 4 = -\frac{1}{2}(x - 2)$, что дает $y = -\frac{1}{2}x + 5$.

2. Найдем координаты вершины D. Вершина D является точкой пересечения прямых DA и DC. Для этого приравняем их уравнения: $0 = -\frac{1}{2}x + 5$, откуда $\frac{1}{2}x = 5$ и $x = 10$. Таким образом, вершина D имеет координаты D = (10, 0).

3. Найдем угол D. Угол D ($\angle ADC$) — это угол между вектором $\vec{DA}$ и вектором $\vec{DC}$.

• $\vec{DA} = A - D = (0-10, 0-0) = (-10, 0)$
• $\vec{DC} = C - D = (2-10, 4-0) = (-8, 4)$

Найдем косинус угла между этими векторами по формуле скалярного произведения: $\cos(\angle D) = \frac{\vec{DA} \cdot \vec{DC}}{|\vec{DA}| \cdot |\vec{DC}|} = \frac{(-10)(-8) + (0)(4)}{\sqrt{(-10)^2+0^2} \cdot \sqrt{(-8)^2+4^2}} = \frac{80}{10 \cdot \sqrt{64+16}} = \frac{80}{10 \cdot \sqrt{80}}$

Упростим выражение: $\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$. $\cos(\angle D) = \frac{80}{10 \cdot 4\sqrt{5}} = \frac{80}{40\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.

Если $\cos(\angle D) = \frac{2}{\sqrt{5}}$, то можно найти тангенс этого угла. Построим прямоугольный треугольник, где прилежащий катет равен 2, а гипотенуза $\sqrt{5}$. Тогда противолежащий катет будет равен $\sqrt{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \sqrt{5-4}=1$. Следовательно, $\tan(\angle D) = \frac{1}{2}$.

Таким образом, угол $\angle D = \arctan(1/2) \approx 26.565^\circ$.

Ответ: 26.