Номер 15, страница 16 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

15. Длины сторон пятиугольника $ABCDE$ выражены целыми числами. Известно, что $AB = 1$ см, $BC = 3$ см, $CD = 5$ см, $DE = 10$ см. Какую наибольшую и какую наименьшую длину может иметь сторона $AE$?

Пусть длина искомой стороны $AE$ пятиугольника $ABCDE$ равна $x$ см. Согласно условию задачи, длины всех сторон являются целыми числами, поэтому $x$ — целое число.

Для того чтобы многоугольник мог существовать, необходимо выполнение неравенства многоугольника: длина любой его стороны должна быть строго меньше, чем сумма длин всех остальных сторон.

Для определения максимальной длины стороны $AE$ применим к ней неравенство многоугольника. Длина $AE$ должна быть меньше суммы длин сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DE$:
$AE < AB + BC + CD + DE$

Подставим известные значения длин сторон:
$x < 1 + 3 + 5 + 10$
$x < 19$

Поскольку $x$ является целым числом, самое большое значение, которое оно может принять, это 18.
Ответ: 18.

Для нахождения минимальной длины стороны $AE$ необходимо применить неравенство многоугольника к самой длинной стороне пятиугольника. Длина самой длинной стороны должна быть короче суммы всех остальных.

Длина самой длинной из известных сторон равна $DE = 10$ см. Неизвестная сторона $AE = x$ может быть как длиннее, так и короче 10 см. Проанализируем два случая.

Случай 1: Самая длинная сторона — $DE = 10$ см. Это верно при условии, что $x \le 10$. Неравенство для стороны $DE$ выглядит следующим образом:
$DE < AB + BC + CD + AE$
$10 < 1 + 3 + 5 + x$
$10 < 9 + x$
$1 < x$
Совмещая условия $x \le 10$ и $1 < x$, получаем, что $x$ может быть любым целым числом от 2 до 10.

Случай 2: Самая длинная сторона — $AE = x$ см. Это верно при условии, что $x > 10$. Неравенство для стороны $AE$ мы уже записывали:
$AE < AB + BC + CD + DE$
$x < 1 + 3 + 5 + 10$
$x < 19$
Совмещая условия $x > 10$ и $x < 19$, получаем, что $x$ может быть любым целым числом от 11 до 18.

Объединяя результаты из обоих случаев, мы заключаем, что возможные целые значения для длины стороны $AE$ лежат в диапазоне от 2 до 18 включительно. Таким образом, наименьшая возможная длина стороны $AE$ равна 2.
Ответ: 2.