Номер 8, страница 15 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

8. а) Периметр четырехугольника равен 6 м. Одна из сторон равна 120 см, а три оставшиеся стороны равны между собой. Найдите длину неизвестных сторон четырехугольника и выразите ее в сантиметрах.

б) Периметр четырехугольника равен 78 см, две соседние его стороны относятся как 1 : 3, третья сторона равна 24 см, а четвертая составляет 75 % третьей стороны. Найдите наименьшую сторону четырехугольника.

а) Периметр четырехугольника равен $P = 6$ м. Чтобы все единицы измерения были одинаковыми, переведем метры в сантиметры. В одном метре 100 сантиметров, поэтому:
$P = 6 \text{ м} = 6 \times 100 \text{ см} = 600 \text{ см}$.
Длина одной из сторон известна, она равна $a = 120$ см. Три оставшиеся стороны равны между собой. Обозначим длину каждой из этих равных сторон через $x$.
Периметр — это сумма длин всех сторон фигуры. Для нашего четырехугольника формула периметра будет выглядеть так:
$P = a + x + x + x = a + 3x$.
Подставим известные значения в эту формулу, чтобы составить уравнение:
$600 = 120 + 3x$.
Решим это уравнение, чтобы найти $x$. Перенесем 120 в левую часть уравнения (сменив знак):
$3x = 600 - 120$
$3x = 480$.
Теперь разделим обе части уравнения на 3:
$x = \frac{480}{3}$
$x = 160 \text{ см}$.
Таким образом, длина каждой из трех неизвестных сторон равна 160 см.
Ответ: 160.

б) Периметр четырехугольника равен $P = 78$ см. Пусть стороны четырехугольника будут $s_1, s_2, s_3$ и $s_4$.
Третья сторона известна: $s_3 = 24$ см.
Четвертая сторона составляет 75% от третьей. Вычислим ее длину. 75% — это $\frac{75}{100}$ или $\frac{3}{4}$.
$s_4 = 24 \times \frac{75}{100} = 24 \times \frac{3}{4} = \frac{24 \times 3}{4} = 6 \times 3 = 18 \text{ см}$.
Две соседние стороны, $s_1$ и $s_2$, относятся как $1 : 3$. Это означает, что одну сторону можно обозначить как $k$, а другую — как $3k$, где $k$ — это некоторая общая мера (коэффициент пропорциональности).
$s_1 = k$
$s_2 = 3k$.
Периметр — это сумма всех четырех сторон: $P = s_1 + s_2 + s_3 + s_4$.
Подставим все известные и выраженные значения в формулу периметра:
$78 = k + 3k + 24 + 18$.
Упростим правую часть уравнения:
$78 = (k + 3k) + (24 + 18)$
$78 = 4k + 42$.
Теперь решим полученное уравнение относительно $k$:
$4k = 78 - 42$
$4k = 36$.
$k = \frac{36}{4} = 9$.
Теперь мы можем найти длины первых двух сторон:
$s_1 = k = 9$ см.
$s_2 = 3k = 3 \times 9 = 27$ см.
Итак, стороны четырехугольника равны: 9 см, 27 см, 24 см и 18 см.
Чтобы найти наименьшую сторону, сравним их длины:
$9 < 18 < 24 < 27$.
Наименьшая сторона равна 9 см.
Ответ: 9.