Номер 10, страница 16 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

10. Докажите, что сумма длин диагоналей выпуклого четырехугольника больше:

а) суммы длин двух его противоположных сторон;

б) его полупериметра.

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Доказательство основано на неравенстве треугольника: сумма длин двух сторон любого треугольника больше длины третьей стороны.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$.

В треугольнике $\triangle AOB$ по неравенству треугольника имеем: $OA + OB > AB$.

В треугольнике $\triangle COD$ по неравенству треугольника имеем: $OC + OD > CD$.

Сложим почленно эти два неравенства:

$(OA + OB) + (OC + OD) > AB + CD$

Сгруппируем слагаемые в левой части:

$(OA + OC) + (OB + OD) > AB + CD$

Так как точка $O$ является точкой пересечения диагоналей, то $OA + OC = AC$ и $OB + OD = BD$. Подставим эти равенства в полученное неравенство:

$AC + BD > AB + CD$

Таким образом, сумма длин диагоналей больше суммы длин противоположных сторон $AB$ и $CD$. Аналогично, рассмотрев треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$, можно доказать, что $AC + BD > BC + DA$.

Ответ: доказано, что сумма длин диагоналей выпуклого четырехугольника ($AC+BD$) больше суммы длин любой пары его противоположных сторон ($AB+CD$ или $BC+DA$).

Периметр четырехугольника $P = AB + BC + CD + DA$. Полупериметр $p = \frac{P}{2} = \frac{AB + BC + CD + DA}{2}$.

Из пункта а) мы имеем два неравенства:

1. $AC + BD > AB + CD$

2. $AC + BD > BC + DA$

Сложим эти два неравенства:

$(AC + BD) + (AC + BD) > (AB + CD) + (BC + DA)$

Упростим выражение:

$2(AC + BD) > AB + BC + CD + DA$

Правая часть неравенства — это периметр $P$ четырехугольника. Следовательно:

$2(AC + BD) > P$

Разделим обе части на 2:

$AC + BD > \frac{P}{2}$

Так как полупериметр $p = \frac{P}{2}$, то окончательно получаем:

$AC + BD > p$

Ответ: доказано, что сумма длин диагоналей выпуклого четырехугольника больше его полупериметра.