Номер 1.115, страница 42 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.115. Упростите выражение:

а) $\frac{3}{c+2} + \frac{2c-5}{4-c^2} + \frac{5}{c-2}$;

б) $\frac{a+6}{4a+8} - \frac{a+2}{4a-8} + \frac{5}{a^2-4}$.

а) Для упрощения выражения приведем все дроби к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатели на множители:
$ \frac{3}{c+2} + \frac{2c-5}{4-c^2} + \frac{5}{c-2} $

Знаменатель второй дроби $ 4-c^2 $ является разностью квадратов: $ 4-c^2 = (2-c)(2+c) $.
Знаменатель третьей дроби $ c-2 $ можно представить как $ -(2-c) $.

Перепишем выражение:
$ \frac{3}{c+2} + \frac{2c-5}{(2-c)(c+2)} - \frac{5}{2-c} $

Общий знаменатель для этих дробей - $ (2-c)(c+2) $. Приведем дроби к этому знаменателю:
$ \frac{3(2-c)}{(c+2)(2-c)} + \frac{2c-5}{(2-c)(c+2)} - \frac{5(c+2)}{(2-c)(c+2)} $

Теперь выполним действия с числителями:
$ \frac{3(2-c) + (2c-5) - 5(c+2)}{(2-c)(c+2)} = \frac{6 - 3c + 2c - 5 - 5c - 10}{(2-c)(c+2)} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:
$ \frac{(-3c + 2c - 5c) + (6 - 5 - 10)}{(2-c)(c+2)} = \frac{-6c - 9}{4-c^2} $

Вынесем знак минус в числителе и знаменателе за скобки и сократим его:
$ \frac{-(6c+9)}{-(c^2-4)} = \frac{6c+9}{c^2-4} $

б) Для упрощения выражения приведем все дроби к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатели на множители:
$ \frac{a+6}{4a+8} - \frac{a+2}{4a-8} + \frac{5}{a^2-4} = \frac{a+6}{4(a+2)} - \frac{a+2}{4(a-2)} + \frac{5}{(a-2)(a+2)} $

Общий знаменатель для этих дробей: $ 4(a-2)(a+2) $. Приведем все дроби к нему, домножив числители на недостающие множители:
$ \frac{(a+6)(a-2)}{4(a+2)(a-2)} - \frac{(a+2)(a+2)}{4(a-2)(a+2)} + \frac{5 \cdot 4}{4(a-2)(a+2)} $

Объединим дроби, выполнив действия в числителе:
$ \frac{(a+6)(a-2) - (a+2)^2 + 20}{4(a-2)(a+2)} $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:
$ \frac{(a^2 - 2a + 6a - 12) - (a^2 + 4a + 4) + 20}{4(a^2-4)} = \frac{a^2 + 4a - 12 - a^2 - 4a - 4 + 20}{4(a^2-4)} $

$ \frac{(a^2-a^2) + (4a-4a) + (-12-4+20)}{4(a^2-4)} = \frac{4}{4(a^2-4)} $

Сократим полученную дробь на 4:
$ \frac{1}{a^2-4} $