Номер 1.111, страница 41 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.111. Приведите рациональное выражение к несократимой рациональной дроби:

а) $ \frac{15}{x^2 + 5x} - \frac{3}{x} $

б) $ \frac{b}{b+2} + \frac{1-3b}{3b+6} $

В) $ \frac{4}{2y-y^2} + \frac{y}{y-2} $

Г) $ \frac{m-1}{6m-2} + \frac{m}{3m-1} $

Д) $ \frac{3c+1}{3c+15} - \frac{2c-1}{2c+10} $

е) $ \frac{2y-1}{10y-10z} - \frac{3y-1}{15z-15y} $

Ж) $ \frac{2n+2}{n^2+2n} - \frac{n+4}{2n+4} $

З) $ \frac{5a-4b}{a^2-2ab} - \frac{a-5b}{2b^2-ab} $

а) $\frac{15}{x^2 + 5x} - \frac{3}{x}$

1. Разложим знаменатель первой дроби на множители: $x^2 + 5x = x(x+5)$.
Выражение принимает вид: $\frac{15}{x(x+5)} - \frac{3}{x}$.

2. Общий знаменатель для этих дробей - $x(x+5)$.

3. Приведем вторую дробь к общему знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $(x+5)$:
$\frac{3(x+5)}{x(x+5)} = \frac{3x+15}{x(x+5)}$

4. Выполним вычитание дробей:
$\frac{15}{x(x+5)} - \frac{3x+15}{x(x+5)} = \frac{15 - (3x+15)}{x(x+5)} = \frac{15 - 3x - 15}{x(x+5)} = \frac{-3x}{x(x+5)}$

5. Сократим полученную дробь на $x$:
$\frac{-3x}{x(x+5)} = -\frac{3}{x+5}$

Ответ: $-\frac{3}{x+5}$

б) $\frac{b}{b+2} + \frac{1-3b}{3b+6}$

1. Разложим знаменатель второй дроби на множители: $3b+6 = 3(b+2)$.
Выражение принимает вид: $\frac{b}{b+2} + \frac{1-3b}{3(b+2)}$.

2. Общий знаменатель - $3(b+2)$.

3. Приведем первую дробь к общему знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на 3:
$\frac{3b}{3(b+2)}$

4. Выполним сложение дробей:
$\frac{3b}{3(b+2)} + \frac{1-3b}{3(b+2)} = \frac{3b + 1 - 3b}{3(b+2)} = \frac{1}{3(b+2)}$

Ответ: $\frac{1}{3(b+2)}$

в) $\frac{4}{2y-y^2} + \frac{y}{y-2}$

1. Разложим знаменатель первой дроби: $2y-y^2 = y(2-y) = -y(y-2)$.
Вынесем минус перед дробью: $\frac{4}{-y(y-2)} = -\frac{4}{y(y-2)}$.
Выражение принимает вид: $-\frac{4}{y(y-2)} + \frac{y}{y-2}$.

2. Общий знаменатель - $y(y-2)$.

3. Приведем вторую дробь к общему знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $y$:
$\frac{y \cdot y}{y(y-2)} = \frac{y^2}{y(y-2)}$

4. Выполним сложение:
$-\frac{4}{y(y-2)} + \frac{y^2}{y(y-2)} = \frac{-4+y^2}{y(y-2)} = \frac{y^2-4}{y(y-2)}$

5. Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
$y^2-4 = (y-2)(y+2)$

6. Сократим дробь на $(y-2)$:
$\frac{(y-2)(y+2)}{y(y-2)} = \frac{y+2}{y}$

7. Полученная дробь является неправильной. Выделим из нее целую часть:
$\frac{y+2}{y} = \frac{y}{y} + \frac{2}{y} = 1 + \frac{2}{y}$

Ответ: $\frac{y+2}{y} = \mathbf{1} + \frac{2}{y}$

г) $\frac{m-1}{6m-2} + \frac{m}{3m-1}$

1. Разложим знаменатель первой дроби: $6m-2 = 2(3m-1)$.
Выражение принимает вид: $\frac{m-1}{2(3m-1)} + \frac{m}{3m-1}$.

2. Общий знаменатель - $2(3m-1)$.

3. Приведем вторую дробь к общему знаменателю, домножив ее на 2:
$\frac{2m}{2(3m-1)}$

4. Выполним сложение:
$\frac{m-1}{2(3m-1)} + \frac{2m}{2(3m-1)} = \frac{m-1+2m}{2(3m-1)} = \frac{3m-1}{2(3m-1)}$

5. Сократим дробь на $(3m-1)$:
$\frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

д) $\frac{3c+1}{3c+15} - \frac{2c-1}{2c+10}$

1. Разложим знаменатели на множители: $3c+15 = 3(c+5)$ и $2c+10 = 2(c+5)$.
Выражение принимает вид: $\frac{3c+1}{3(c+5)} - \frac{2c-1}{2(c+5)}$.

2. Общий знаменатель - $3 \cdot 2 \cdot (c+5) = 6(c+5)$.

3. Приведем дроби к общему знаменателю. Первую дробь домножим на 2, вторую - на 3:
$\frac{2(3c+1)}{6(c+5)} - \frac{3(2c-1)}{6(c+5)} = \frac{6c+2}{6(c+5)} - \frac{6c-3}{6(c+5)}$

4. Выполним вычитание:
$\frac{(6c+2) - (6c-3)}{6(c+5)} = \frac{6c+2-6c+3}{6(c+5)} = \frac{5}{6(c+5)}$

Ответ: $\frac{5}{6(c+5)}$

е) $\frac{2y-1}{10y-10z} - \frac{3y-1}{15z-15y}$

1. Разложим знаменатели на множители: $10y-10z = 10(y-z)$ и $15z-15y = 15(z-y) = -15(y-z)$.
Выражение принимает вид: $\frac{2y-1}{10(y-z)} - \frac{3y-1}{-15(y-z)}$.

2. Упростим вторую дробь:
$\frac{2y-1}{10(y-z)} + \frac{3y-1}{15(y-z)}$

3. Общий знаменатель - $30(y-z)$.

4. Приведем дроби к общему знаменателю. Первую домножим на 3, вторую - на 2:
$\frac{3(2y-1)}{30(y-z)} + \frac{2(3y-1)}{30(y-z)} = \frac{6y-3}{30(y-z)} + \frac{6y-2}{30(y-z)}$

5. Выполним сложение:
$\frac{6y-3+6y-2}{30(y-z)} = \frac{12y-5}{30(y-z)}$

Ответ: $\frac{12y-5}{30(y-z)}$

ж) $\frac{2n+2}{n^2+2n} - \frac{n+4}{2n+4}$

1. Разложим на множители числители и знаменатели: $2n+2 = 2(n+1)$, $n^2+2n = n(n+2)$, $2n+4 = 2(n+2)$.
Выражение принимает вид: $\frac{2(n+1)}{n(n+2)} - \frac{n+4}{2(n+2)}$.

2. Общий знаменатель - $2n(n+2)$.

3. Приведем дроби к общему знаменателю. Первую дробь домножим на 2, вторую - на $n$:
$\frac{2 \cdot 2(n+1)}{2n(n+2)} - \frac{n(n+4)}{2n(n+2)} = \frac{4n+4}{2n(n+2)} - \frac{n^2+4n}{2n(n+2)}$

4. Выполним вычитание:
$\frac{4n+4 - (n^2+4n)}{2n(n+2)} = \frac{4n+4 - n^2 - 4n}{2n(n+2)} = \frac{4-n^2}{2n(n+2)}$

5. Разложим числитель по формуле разности квадратов: $4-n^2 = (2-n)(2+n)$.

6. Сократим дробь на $(2+n)$:
$\frac{(2-n)(2+n)}{2n(n+2)} = \frac{2-n}{2n}$

Ответ: $\frac{2-n}{2n}$

з) $\frac{5a-4b}{a^2-2ab} - \frac{a-5b}{2b^2-ab}$

1. Разложим знаменатели на множители: $a^2-2ab = a(a-2b)$ и $2b^2-ab = b(2b-a) = -b(a-2b)$.
Выражение принимает вид: $\frac{5a-4b}{a(a-2b)} - \frac{a-5b}{-b(a-2b)}$.

2. Упростим вторую дробь:
$\frac{5a-4b}{a(a-2b)} + \frac{a-5b}{b(a-2b)}$

3. Общий знаменатель - $ab(a-2b)$.

4. Приведем дроби к общему знаменателю. Первую домножим на $b$, вторую - на $a$:
$\frac{b(5a-4b)}{ab(a-2b)} + \frac{a(a-5b)}{ab(a-2b)} = \frac{5ab-4b^2}{ab(a-2b)} + \frac{a^2-5ab}{ab(a-2b)}$

5. Выполним сложение:
$\frac{5ab-4b^2+a^2-5ab}{ab(a-2b)} = \frac{a^2-4b^2}{ab(a-2b)}$

6. Разложим числитель по формуле разности квадратов: $a^2-4b^2 = (a-2b)(a+2b)$.

7. Сократим дробь на $(a-2b)$:
$\frac{(a-2b)(a+2b)}{ab(a-2b)} = \frac{a+2b}{ab}$

Ответ: $\frac{a+2b}{ab}$