Номер 1.112, страница 41 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.112. Выполните действия: $ \frac{a-6}{a^2+3a} - \frac{a-3}{a} + \frac{a}{a+3} $

Чтобы выполнить действия с алгебраическими дробями, необходимо привести их к общему знаменателю.

1. Нахождение общего знаменателя

Сначала разложим на множители знаменатель первой дроби: $a^2 + 3a = a(a+3)$.
Знаменатели дробей в выражении: $a^2 + 3a$, $a$, и $a+3$.
После разложения на множители имеем: $a(a+3)$, $a$, и $a+3$.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для этих выражений - это $a(a+3)$.
Область допустимых значений переменной $a$ определяется условиями, при которых знаменатели не равны нулю: $a \neq 0$ и $a+3 \neq 0$, то есть $a \neq 0$ и $a \neq -3$.

2. Приведение дробей к общему знаменателю

Исходное выражение: $\frac{a-6}{a^2+3a} - \frac{a-3}{a} + \frac{a}{a+3}$.

Приведём каждую дробь к знаменателю $a(a+3)$, умножая числитель и знаменатель на соответствующий дополнительный множитель:

• Первая дробь $\frac{a-6}{a(a+3)}$ уже имеет нужный знаменатель. Дополнительный множитель - 1.
• Для второй дроби $\frac{a-3}{a}$ дополнительный множитель - $(a+3)$:
  $\frac{a-3}{a} = \frac{(a-3)(a+3)}{a(a+3)} = \frac{a^2-9}{a(a+3)}$.
• Для третьей дроби $\frac{a}{a+3}$ дополнительный множитель - $a$:
  $\frac{a}{a+3} = \frac{a \cdot a}{a(a+3)} = \frac{a^2}{a(a+3)}$.

3. Выполнение действий и упрощение

Теперь подставим полученные дроби в исходное выражение и выполним действия с числителями над общим знаменателем:

$\frac{a-6}{a(a+3)} - \frac{a^2-9}{a(a+3)} + \frac{a^2}{a(a+3)} = \frac{(a-6) - (a^2-9) + a^2}{a(a+3)}$

Раскроем скобки в числителе и приведём подобные слагаемые:

$a - 6 - a^2 + 9 + a^2 = (a^2 - a^2) + a + (9 - 6) = a + 3$

Получаем дробь:

$\frac{a+3}{a(a+3)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a+3)$, что возможно, так как по ОДЗ $a \neq -3$:

$\frac{\cancel{a+3}}{a(\cancel{a+3})} = \frac{1}{a}$

Ответ: $\frac{1}{a}$.