Номер 1.113, страница 41 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.113. Найдите значение выражения $\frac{b+2}{b} - \frac{b}{b-2} - \frac{b+2}{2b-b^2}$ при $b=0,2$.

Для того чтобы найти значение выражения, сначала упростим его. Исходное выражение:

$\frac{b+2}{b} - \frac{b}{b-2} - \frac{b+2}{2b-b^2}$

Разложим на множители знаменатель третьей дроби. Для этого вынесем $b$ за скобки:

$2b - b^2 = b(2-b)$

Чтобы привести знаменатели к общему виду, в выражении $b(2-b)$ вынесем за скобку $-1$:

$b(2-b) = -b(b-2)$

Теперь перепишем исходное выражение, подставив разложенный знаменатель:

$\frac{b+2}{b} - \frac{b}{b-2} - \frac{b+2}{-b(b-2)}$

Знак "минус" перед третьей дробью можно поменять на "плюс", убрав "минус" из знаменателя:

$\frac{b+2}{b} - \frac{b}{b-2} + \frac{b+2}{b(b-2)}$

Теперь приведем все дроби к общему знаменателю $b(b-2)$. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(b-2)$, а второй дроби — на $b$:

$\frac{(b+2)(b-2)}{b(b-2)} - \frac{b \cdot b}{b(b-2)} + \frac{b+2}{b(b-2)}$

Запишем все под одной дробной чертой:

$\frac{(b+2)(b-2) - b^2 + b+2}{b(b-2)}$

Раскроем скобки в числителе, используя формулу разности квадратов $(a-c)(a+c) = a^2 - c^2$:

$\frac{b^2 - 4 - b^2 + b + 2}{b(b-2)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(b^2 - b^2) + b + (-4+2)}{b(b-2)} = \frac{b-2}{b(b-2)}$

При $b=0,2$ выражение $b-2$ не равно нулю, поэтому мы можем сократить дробь на $(b-2)$:

$\frac{1}{b}$

Теперь подставим значение $b=0,2$ в упрощенное выражение:

$\frac{1}{0,2} = \frac{10}{2} = 5$

Ответ: 5