Номер 1.118, страница 42 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.118. Найдите значение выражения $ \frac{3}{5a-20} - \frac{a-5}{a^2-8a+16} $ при $ a=4,1 $.

Для нахождения значения выражения $\frac{3}{5a - 20} - \frac{a-5}{a^2 - 8a + 16}$ при $a=4,1$ сначала упростим его.

1. Разложим на множители знаменатель первой дроби, вынеся общий множитель 5 за скобки:

$5a - 20 = 5(a - 4)$

2. Разложим на множители знаменатель второй дроби. Выражение $a^2 - 8a + 16$ является полным квадратом разности и сворачивается по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$a^2 - 8a + 16 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2 = (a - 4)^2$

Подставим полученные выражения в исходное:

$\frac{3}{5(a - 4)} - \frac{a - 5}{(a - 4)^2}$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для выражений $5(a - 4)$ и $(a - 4)^2$ будет $5(a - 4)^2$.

Умножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель $(a-4)$, а второй дроби — на 5:

$\frac{3(a - 4)}{5(a - 4)^2} - \frac{5(a - 5)}{5(a - 4)^2}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей:

$\frac{3(a - 4) - 5(a - 5)}{5(a - 4)^2}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{3a - 12 - 5a + 25}{5(a - 4)^2} = \frac{-2a + 13}{5(a - 4)^2}$

Теперь подставим значение $a = 4,1$ в упрощенное выражение:

$\frac{-2 \cdot 4,1 + 13}{5(4,1 - 4)^2} = \frac{-8,2 + 13}{5(0,1)^2} = \frac{4,8}{5 \cdot 0,01} = \frac{4,8}{0,05}$

Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$\frac{4,8 \cdot 100}{0,05 \cdot 100} = \frac{480}{5} = 96$

Ответ: 96