Номер 1.124, страница 43 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.124*. Докажите, что значение выражения $\frac{a^2 - ac^2 + 2c^2 - 4}{a^2 + 2a + 2c^2 - c^4} - \frac{a^2 - 4a + 4}{a^2 + ac^2 - 2a - 2c^2}$ не зависит от значений переменных.

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от значений переменных, необходимо его упростить. Для этого преобразуем каждую дробь по отдельности.

1. Упростим первую дробь: $\frac{a^2 - ac^2 + 2c^2 - 4}{a^2 + 2a + 2c^2 - c^4}$

Разложим на множители числитель, используя метод группировки:

$a^2 - ac^2 + 2c^2 - 4 = (a^2 - 4) - (ac^2 - 2c^2) = (a-2)(a+2) - c^2(a-2)$

Вынесем общий множитель $(a-2)$:

$(a-2)(a+2-c^2)$

Теперь разложим на множители знаменатель, выделяя полные квадраты:

$a^2 + 2a + 2c^2 - c^4 = (a^2 + 2a + 1) + (2c^2 - c^4 - 1) = (a+1)^2 - (c^4 - 2c^2 + 1) = (a+1)^2 - (c^2-1)^2$

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$((a+1) - (c^2-1))((a+1) + (c^2-1)) = (a+1-c^2+1)(a+1+c^2-1) = (a-c^2+2)(a+c^2)$

Сократим первую дробь:

2. Упростим вторую дробь: $\frac{a^2 - 4a + 4}{a^2 + ac^2 - 2a - 2c^2}$

Числитель является формулой квадрата разности:

$a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2$

Разложим на множители знаменатель методом группировки:

$a^2 + ac^2 - 2a - 2c^2 = (a^2 - 2a) + (ac^2 - 2c^2) = a(a-2) + c^2(a-2)$

Вынесем общий множитель $(a-2)$:

$(a-2)(a+c^2)$

Сократим вторую дробь:

3. Найдем значение исходного выражения

Теперь, когда обе дроби упрощены, выполним вычитание:

В результате упрощения мы получили 0. Так как 0 — это константа, значение исходного выражения не зависит от значений переменных $a$ и $c$, что и требовалось доказать.

Ответ: 0.