Номер 1.123, страница 42 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.123*. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной выражение $\frac{8}{c^4 - 4} + \frac{1}{c^2 + 2} - \frac{2}{c^2 - 2}$ принимает только отрицательные значения.

Чтобы доказать, что данное выражение принимает только отрицательные значения при всех допустимых значениях переменной, мы упростим его и проанализируем знак результата.

Исходное выражение:

$$ \frac{8}{c^4 - 4} + \frac{1}{c^2 + 2} - \frac{2}{c^2 - 2} $$

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны обращаться в ноль:

• $c^4 - 4 \neq 0$
• $c^2 + 2 \neq 0$
• $c^2 - 2 \neq 0$

Выражение $c^2 + 2$ всегда положительно для любого действительного $c$, поскольку $c^2 \ge 0$ и, следовательно, $c^2 + 2 \ge 2$.
Условие $c^4 - 4 \neq 0$ равносильно $(c^2 - 2)(c^2 + 2) \neq 0$. Так как $c^2 + 2 \neq 0$, то остается единственное условие $c^2 - 2 \neq 0$.
Из $c^2 - 2 \neq 0$ следует, что $c^2 \neq 2$, то есть $c \neq \sqrt{2}$ и $c \neq -\sqrt{2}$.

2. Упростим выражение. Разложим знаменатель первой дроби $c^4 - 4$ по формуле разности квадратов: $c^4 - 4 = (c^2)^2 - 2^2 = (c^2 - 2)(c^2 + 2)$. Это и будет общим знаменателем.

Приведем все дроби к общему знаменателю:

$$ \frac{8}{(c^2 - 2)(c^2 + 2)} + \frac{1 \cdot (c^2 - 2)}{(c^2 + 2)(c^2 - 2)} - \frac{2 \cdot (c^2 + 2)}{(c^2 - 2)(c^2 + 2)} $$

Объединим дроби в одну, выполнив действия в числителе:

$$ \frac{8 + (c^2 - 2) - 2(c^2 + 2)}{(c^2 - 2)(c^2 + 2)} = \frac{8 + c^2 - 2 - 2c^2 - 4}{c^4 - 4} $$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$$ \frac{(c^2 - 2c^2) + (8 - 2 - 4)}{c^4 - 4} = \frac{-c^2 + 2}{c^4 - 4} $$

Вынесем в числителе $-1$ за скобку и снова разложим знаменатель:

$$ \frac{-(c^2 - 2)}{(c^2 - 2)(c^2 + 2)} $$

Поскольку в области допустимых значений $c^2 - 2 \neq 0$, мы можем сократить дробь на $(c^2 - 2)$:

$$ \frac{-1}{c^2 + 2} $$

3. Проанализируем знак полученного выражения. Упрощенное выражение равно $ - \frac{1}{c^2 + 2} $.

• Числитель дроби равен $-1$, это отрицательное число.
• Знаменатель дроби $c^2 + 2$ всегда положителен, так как $c^2 \ge 0$ для любого действительного $c$, а значит $c^2 + 2 \ge 2$.

Деление отрицательного числа на положительное всегда дает в результате отрицательное число.

Ответ: Мы доказали, что исходное выражение для всех допустимых значений переменной $c$ тождественно равно выражению $ - \frac{1}{c^2 + 2} $. Так как это выражение всегда принимает отрицательные значения, утверждение доказано.