Номер 1.127, страница 43 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.127*. Докажите тождество

$\frac{a^2 - (b-c)^2}{(a+c)^2 - b^2} + \frac{b^2 - (a-c)^2}{(a+b)^2 - c^2} + \frac{c^2 - (a-b)^2}{(b+c)^2 - a^2} = 1.$

Для доказательства тождества преобразуем левую часть равенства. Мы упростим каждую из трёх дробей по отдельности, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, а затем сложим полученные результаты.

Рассмотрим первую дробь: $\frac{a^2 - (b-c)^2}{(a+c)^2 - b^2}$

Преобразуем её числитель:

$$ a^2 - (b-c)^2 = (a - (b-c))(a + (b-c)) = (a-b+c)(a+b-c) $$

Преобразуем её знаменатель:

$$ (a+c)^2 - b^2 = ((a+c)-b)((a+c)+b) = (a-b+c)(a+b+c) $$

Теперь подставим преобразованные выражения в дробь и сократим общий множитель $(a-b+c)$:

$$ \frac{(a-b+c)(a+b-c)}{(a-b+c)(a+b+c)} = \frac{a+b-c}{a+b+c} $$

Рассмотрим вторую дробь: $\frac{b^2 - (a-c)^2}{(a+b)^2 - c^2}$

Аналогично преобразуем числитель:

$$ b^2 - (a-c)^2 = (b - (a-c))(b + (a-c)) = (b-a+c)(a+b-c) $$

И знаменатель:

$$ (a+b)^2 - c^2 = ((a+b)-c)((a+b)+c) = (a+b-c)(a+b+c) $$

Подставим и сократим общий множитель $(a+b-c)$:

$$ \frac{(b-a+c)(a+b-c)}{(a+b-c)(a+b+c)} = \frac{b-a+c}{a+b+c} $$

Рассмотрим третью дробь: $\frac{c^2 - (a-b)^2}{(b+c)^2 - a^2}$

Преобразуем числитель:

$$ c^2 - (a-b)^2 = (c - (a-b))(c + (a-b)) = (c-a+b)(a-b+c) $$

И знаменатель:

$$ (b+c)^2 - a^2 = ((b+c)-a)((b+c)+a) = (b+c-a)(a+b+c) $$

Подставим и сократим общий множитель $(b+c-a)$:

$$ \frac{(c-a+b)(a-b+c)}{(b+c-a)(a+b+c)} = \frac{c+a-b}{a+b+c} $$

Теперь сложим все три упрощенные дроби. Так как они имеют общий знаменатель $(a+b+c)$, мы можем сложить их числители:

$$ \frac{a+b-c}{a+b+c} + \frac{b-a+c}{a+b+c} + \frac{c+a-b}{a+b+c} = \frac{(a+b-c) + (b-a+c) + (c+a-b)}{a+b+c} $$

Упростим выражение в числителе, приведя подобные слагаемые:

$$ (a-a+a) + (b+b-b) + (-c+c+c) = a+b+c $$

Таким образом, вся сумма равна:

$$ \frac{a+b+c}{a+b+c} = 1 $$

Мы показали, что левая часть тождества равна 1, что совпадает с правой частью. Тождество доказано при условии, что знаменатели исходных дробей не обращаются в ноль.

Ответ: 1