Номер 1.134, страница 44 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.134. Поменяйте знак в знаменателе одной из дробей и перед этой дробью, а затем упростите выражение:

а) $ \frac{b}{b-2} - \frac{2}{2-b} $

б) $ \frac{7m}{m-n} + \frac{7n}{n-m} $

в) $ \frac{a-4b}{a-3b} - \frac{5a-14b}{3b-a} $

г) $ \frac{49x^2}{7x-y} + \frac{y^2}{y-7x} $

д) $ \frac{m^2}{5m-10} + \frac{4}{10-5m} $

е) $ \frac{9c^2}{3c-1} + \frac{6c-1}{1-3c} $

а) В выражении $ \frac{b}{b-2} - \frac{2}{2-b} $ поменяем знак в знаменателе второй дроби и знак перед самой дробью. Знаменатель $ 2-b $ можно записать как $ -(b-2) $. Таким образом, мы меняем знаменатель $ 2-b $ на $ b-2 $, а знак "минус" перед дробью на "плюс":
$ \frac{b}{b-2} + \frac{2}{b-2} $
Теперь, когда у дробей одинаковый знаменатель, сложим их числители:
$ \frac{b+2}{b-2} $
Полученная дробь является неправильной (степень числителя равна степени знаменателя). Чтобы выделить целую часть, представим числитель в виде $ (b-2)+4 $:
$ \frac{(b-2)+4}{b-2} = \frac{b-2}{b-2} + \frac{4}{b-2} = 1 + \frac{4}{b-2} $
Целая часть выражения равна 1.
Ответ: 1.

б) В выражении $ \frac{7m}{m-n} + \frac{7n}{n-m} $ знаменатель второй дроби $ n-m $ равен $ -(m-n) $. Поменяем знак в знаменателе второй дроби на $ m-n $ и знак перед ней с "плюс" на "минус":
$ \frac{7m}{m-n} - \frac{7n}{m-n} $
Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:
$ \frac{7m-7n}{m-n} $
В числителе вынесем общий множитель 7 за скобки:
$ \frac{7(m-n)}{m-n} $
Сократим дробь на общий множитель $ (m-n) $:
$ 7 $
Результат является целым числом.
Ответ: 7.

в) В выражении $ \frac{a-4b}{a-3b} - \frac{5a-14b}{3b-a} $ знаменатель второй дроби $ 3b-a $ равен $ -(a-3b) $. Поменяем знак в знаменателе на $ a-3b $ и знак перед дробью с "минус" на "плюс":
$ \frac{a-4b}{a-3b} + \frac{5a-14b}{a-3b} $
Сложим дроби с одинаковым знаменателем:
$ \frac{(a-4b)+(5a-14b)}{a-3b} = \frac{a+5a-4b-14b}{a-3b} = \frac{6a-18b}{a-3b} $
В числителе вынесем за скобки общий множитель 6:
$ \frac{6(a-3b)}{a-3b} $
Сократим дробь на $ (a-3b) $:
$ 6 $
Результат является целым числом.
Ответ: 6.

г) В выражении $ \frac{49x^2}{7x-y} + \frac{y^2}{y-7x} $ поменяем знак в знаменателе второй дроби ($ y-7x \rightarrow 7x-y $) и знак перед ней ($ + \rightarrow - $):
$ \frac{49x^2}{7x-y} - \frac{y^2}{7x-y} $
Выполним вычитание дробей:
$ \frac{49x^2 - y^2}{7x-y} $
Числитель является разностью квадратов $ (7x)^2 - y^2 $. Разложим его по формуле $ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $:
$ \frac{(7x-y)(7x+y)}{7x-y} $
Сократим дробь на $ (7x-y) $:
$ 7x+y $
Полученное выражение является многочленом, который и есть целая часть.
Ответ: $7x+y$.

д) В выражении $ \frac{m^2}{5m-10} + \frac{4}{10-5m} $ заметим, что $ 10-5m = -(5m-10) $. Поменяем знак в знаменателе второй дроби и знак перед ней:
$ \frac{m^2}{5m-10} - \frac{4}{5m-10} $
Выполним вычитание:
$ \frac{m^2-4}{5m-10} $
Разложим числитель по формуле разности квадратов, а в знаменателе вынесем общий множитель 5:
$ \frac{(m-2)(m+2)}{5(m-2)} $
Сократим дробь на общий множитель $ (m-2) $:
$ \frac{m+2}{5} $
Полученное выражение является целой частью.
Ответ: $\frac{m+2}{5}$.

е) В выражении $ \frac{9c^2}{3c-1} + \frac{6c-1}{1-3c} $ поменяем знак в знаменателе второй дроби ($ 1-3c \rightarrow 3c-1 $) и знак перед ней ($ + \rightarrow - $):
$ \frac{9c^2}{3c-1} - \frac{6c-1}{3c-1} $
Выполним вычитание, раскрыв скобки в числителе:
$ \frac{9c^2 - (6c-1)}{3c-1} = \frac{9c^2-6c+1}{3c-1} $
Числитель является полным квадратом разности $ (3c-1)^2 $, так как $ (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 $:
$ \frac{(3c-1)^2}{3c-1} $
Сократим дробь на $ (3c-1) $:
$ 3c-1 $
Полученный многочлен является целой частью.
Ответ: $3c-1$.