Номер 1.136, страница 44 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.136. Упростите выражение $\frac{9a+2}{a^2-4} + \frac{30-a}{a^2-4} - \frac{7a-2}{4-a^2}$

Для того чтобы упростить выражение, необходимо выполнить действия с дробями. Первым шагом приведем все дроби к общему знаменателю.

Исходное выражение:

$$ \frac{9a+2}{a^2-4} + \frac{30-a}{a^2-4} - \frac{7a-2}{4-a^2} $$

Знаменатели первой и второй дробей одинаковы: $a^2-4$. Знаменатель третьей дроби, $4-a^2$, можно представить как $-(a^2-4)$.

Преобразуем третью дробь. Для этого изменим знак перед дробью с «минуса» на «плюс» и одновременно изменим знаки в ее знаменателе:

$$ -\frac{7a-2}{4-a^2} = -\frac{7a-2}{-(a^2-4)} = +\frac{7a-2}{a^2-4} $$

После преобразования выражение примет вид:

$$ \frac{9a+2}{a^2-4} + \frac{30-a}{a^2-4} + \frac{7a-2}{a^2-4} $$

Теперь, когда все дроби имеют общий знаменатель, сложим их числители:

$$ \frac{(9a+2) + (30-a) + (7a-2)}{a^2-4} $$

Упростим выражение в числителе, приведя подобные слагаемые:

$$ \frac{9a - a + 7a + 2 + 30 - 2}{a^2-4} = \frac{15a + 30}{a^2-4} $$

Для дальнейшего упрощения разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем за скобки общий множитель 15. Знаменатель разложим на множители по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$$ \frac{15(a+2)}{(a-2)(a+2)} $$

Сократим дробь на общий множитель $(a+2)$, при условии, что $a+2 \neq 0$ (т.е. $a \neq -2$):

$$ \frac{15\cancel{(a+2)}}{(a-2)\cancel{(a+2)}} = \frac{15}{a-2} $$

Ответ: $ \frac{15}{a-2} $