Номер 1.137, страница 44 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.137. Представьте в виде дроби выражение:

a) $ \frac{16}{(4-a)^2} - \frac{a^2}{(a-4)^2} $;

б) $ \frac{1-6x}{(3x-1)^3} - \frac{9x^2}{(1-3x)^3} $.

а) Представим выражение в виде дроби:

$$ \frac{16}{(4-a)^2} - \frac{a^2}{(a-4)^2} $$

Знаменатели дробей $(4-a)^2$ и $(a-4)^2$ равны, так как квадрат выражения не зависит от его знака: $(4-a)^2 = (-(a-4))^2 = (a-4)^2$.

Поэтому мы можем привести дроби к общему знаменателю $(a-4)^2$ и объединить их:

$$ \frac{16}{(a-4)^2} - \frac{a^2}{(a-4)^2} = \frac{16-a^2}{(a-4)^2} $$

Числитель $16-a^2$ представляет собой разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:

$$ 16-a^2 = 4^2 - a^2 = (4-a)(4+a) $$

Подставим разложенный числитель обратно в дробь:

$$ \frac{(4-a)(4+a)}{(a-4)^2} $$

Учитывая, что $4-a = -(a-4)$, мы можем сократить дробь:

$$ \frac{-(a-4)(a+4)}{(a-4)(a-4)} = \frac{-(a+4)}{a-4} = \frac{a+4}{4-a} $$

Полученная дробь $\frac{a+4}{4-a}$ является неправильной, так как степень многочлена в числителе (1) равна степени многочлена в знаменателе (1). Выделим целую часть:

$$ \frac{a+4}{4-a} = \frac{-(4-a)+4+4}{4-a} = \frac{-(4-a)}{4-a} + \frac{8}{4-a} = -1 + \frac{8}{4-a} $$

Ответ: $-1 + \frac{8}{4-a}$

б) Представим выражение в виде дроби:

$$ \frac{1-6x}{(3x-1)^3} - \frac{9x^2}{(1-3x)^3} $$

Заметим, что знаменатели связаны соотношением $(1-3x)^3 = (-(3x-1))^3 = (-1)^3(3x-1)^3 = -(3x-1)^3$.

Используем это для преобразования второй дроби:

$$ \frac{1-6x}{(3x-1)^3} - \frac{9x^2}{-(3x-1)^3} = \frac{1-6x}{(3x-1)^3} + \frac{9x^2}{(3x-1)^3} $$

Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$$ \frac{1-6x+9x^2}{(3x-1)^3} $$

Выражение в числителе $9x^2-6x+1$ является полным квадратом разности, который сворачивается по формуле $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$:

$$ 9x^2-6x+1 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 1 + 1^2 = (3x-1)^2 $$

Подставим свернутый числитель обратно в дробь:

$$ \frac{(3x-1)^2}{(3x-1)^3} $$

Сократим дробь на общий множитель $(3x-1)^2$:

$$ \frac{1}{3x-1} $$

Полученная дробь является правильной, так как степень числителя (0) меньше степени знаменателя (1). Целая часть такой дроби равна 0.

Ответ: $\frac{1}{3x-1}$