Номер 1.141, страница 45 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.141. Найдите сумму и разность дробей:

а) $ \frac{m}{n} $ и $ \frac{m}{n-m} $;

б) $ \frac{5a+4}{a+2} $ и $ \frac{4}{a} $.

a) Найдем сумму дробей $\frac{m}{n}$ и $\frac{m}{n-m}$.
Общий знаменатель для этих дробей: $n(n-m)$.
Приведем дроби к общему знаменателю и сложим их:
Сумма: $$ \frac{m}{n} + \frac{m}{n-m} = \frac{m(n-m)}{n(n-m)} + \frac{m \cdot n}{n(n-m)} = \frac{m(n-m) + mn}{n(n-m)} = \frac{mn - m^2 + mn}{n(n-m)} = \frac{2mn - m^2}{n(n-m)} $$ Полученная дробь $\frac{2mn - m^2}{n^2 - mn}$ является неправильной, так как старшая степень числителя (2) равна старшей степени знаменателя (2). Однако, в данном случае, выделить ненулевую целую часть в виде многочлена не представляется возможным. Поэтому целая часть равна 0.

Найдем разность дробей $\frac{m}{n}$ и $\frac{m}{n-m}$.
Разность: $$ \frac{m}{n} - \frac{m}{n-m} = \frac{m(n-m)}{n(n-m)} - \frac{m \cdot n}{n(n-m)} = \frac{m(n-m) - mn}{n(n-m)} = \frac{mn - m^2 - mn}{n(n-m)} = \frac{-m^2}{n(n-m)} $$ Эта дробь также является неправильной (степень числителя и знаменателя равны 2), и по аналогии с суммой, ее целая часть равна 0.

Ответ: сумма: $\frac{2mn - m^2}{n(n-m)}$, целая часть 0; разность: $\frac{-m^2}{n(n-m)}$, целая часть 0.

б) Найдем сумму дробей $\frac{5a+4}{a+2}$ и $\frac{4}{a}$.
Общий знаменатель: $a(a+2)$.
Сумма: $$ \frac{5a+4}{a+2} + \frac{4}{a} = \frac{a(5a+4)}{a(a+2)} + \frac{4(a+2)}{a(a+2)} = \frac{5a^2 + 4a + 4a + 8}{a(a+2)} = \frac{5a^2 + 8a + 8}{a(a+2)} $$ Полученная дробь $\frac{5a^2 + 8a + 8}{a^2 + 2a}$ является неправильной, так как степень числителя (2) равна степени знаменателя (2). Выделим целую часть путем деления числителя на знаменатель столбиком:
$(5a^2 + 8a + 8) \div (a^2 + 2a) = 5$ (частное) и $-2a+8$ (остаток).
Таким образом, дробь можно представить в виде: $$ 5 + \frac{-2a+8}{a(a+2)} = 5 + \frac{8-2a}{a(a+2)} $$ Целая часть равна 5.

Найдем разность дробей $\frac{5a+4}{a+2}$ и $\frac{4}{a}$.
Разность: $$ \frac{5a+4}{a+2} - \frac{4}{a} = \frac{a(5a+4)}{a(a+2)} - \frac{4(a+2)}{a(a+2)} = \frac{5a^2 + 4a - (4a + 8)}{a(a+2)} = \frac{5a^2 - 8}{a(a+2)} $$ Дробь $\frac{5a^2 - 8}{a^2 + 2a}$ также является неправильной. Выделим целую часть:
$(5a^2 - 8) \div (a^2 + 2a) = 5$ (частное) и $-10a-8$ (остаток).
Таким образом, дробь можно представить в виде: $$ 5 + \frac{-10a-8}{a(a+2)} = 5 - \frac{10a+8}{a(a+2)} $$ Целая часть равна 5.

Ответ: сумма: $5 + \frac{8-2a}{a(a+2)}$, целая часть 5; разность: $5 - \frac{10a+8}{a(a+2)}$, целая часть 5.