Номер 1.146, страница 45 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.146. Выполните действия:

$ \frac{a-12}{a^2+4a} - \frac{a-4}{a} + \frac{a}{a+4} $

Для выполнения указанных действий необходимо привести все дроби к общему знаменателю. Рассмотрим выражение:

$$ \frac{a-12}{a^2+4a} - \frac{a-4}{a} + \frac{a}{a+4} $$

1. Первым шагом разложим на множители знаменатель первой дроби, вынеся общий множитель $a$ за скобки:

$$ a^2+4a = a(a+4) $$

Теперь выражение выглядит следующим образом:

$$ \frac{a-12}{a(a+4)} - \frac{a-4}{a} + \frac{a}{a+4} $$

2. Знаменатели дробей — это $a(a+4)$, $a$ и $a+4$. Наименьшим общим знаменателем (НОЗ) для этих выражений является $a(a+4)$.

3. Приведем вторую и третью дроби к общему знаменателю. Для этого числитель и знаменатель второй дроби домножим на дополнительный множитель $(a+4)$, а третьей — на $a$.

$$ \frac{a-12}{a(a+4)} - \frac{(a-4)(a+4)}{a(a+4)} + \frac{a \cdot a}{a(a+4)} $$

4. Теперь, когда все дроби имеют одинаковый знаменатель, объединим их, выполнив действия в числителе:

$$ \frac{(a-12) - (a-4)(a+4) + a^2}{a(a+4)} $$

5. Упростим числитель. Для выражения $(a-4)(a+4)$ применим формулу разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$.

$$ (a-4)(a+4) = a^2 - 4^2 = a^2 - 16 $$

Подставим результат в числитель и раскроем скобки:

$$ a - 12 - (a^2 - 16) + a^2 = a - 12 - a^2 + 16 + a^2 $$

6. Приведем подобные слагаемые в числителе:

$$ (a^2 - a^2) + a + (16 - 12) = 0 + a + 4 = a + 4 $$

7. В результате получаем дробь:

$$ \frac{a+4}{a(a+4)} $$

8. Сократим числитель и знаменатель на общий множитель $(a+4)$, при условии, что $a+4 \neq 0$ (т.е. $a \neq -4$) и $a \neq 0$.

$$ \frac{1}{a} $$

Ответ: $\frac{1}{a}$.