Номер 1.149, страница 46 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.149. Примените формулы сокращенного умножения для разложения на множители знаменателей дробей и выполните действия:

а) $ \frac{c}{c+6} - \frac{c^2}{c^2+12c+36} $

б) $ \frac{4}{x^2-4x+4} - \frac{2}{2-x} $

а) Рассмотрим выражение $ \frac{c}{c+6} - \frac{c^2}{c^2 + 12c + 36} $.

1. Сначала разложим на множители знаменатель второй дроби $c^2 + 12c + 36$. Это выражение является полным квадратом, так как соответствует формуле сокращенного умножения для квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=c$ и $b=6$.

Проверка: $c^2 + 2 \cdot c \cdot 6 + 6^2 = c^2 + 12c + 36$.

Следовательно, знаменатель второй дроби можно записать как $(c+6)^2$.

2. Теперь выражение принимает вид:

$$ \frac{c}{c+6} - \frac{c^2}{(c+6)^2} $$

3. Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $(c+6)$ и $(c+6)^2$ — это $(c+6)^2$.

4. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель $(c+6)$:

$$ \frac{c \cdot (c+6)}{(c+6) \cdot (c+6)} - \frac{c^2}{(c+6)^2} = \frac{c(c+6) - c^2}{(c+6)^2} $$

5. Упростим числитель полученной дроби, раскрыв скобки:

$$ c(c+6) - c^2 = c^2 + 6c - c^2 = 6c $$

6. Таким образом, итоговое выражение равно:

Ответ: $ \frac{6c}{(c+6)^2} $.

б) Рассмотрим выражение $ \frac{4}{x^2 - 4x + 4} - \frac{2}{2-x} $.

1. Разложим на множители знаменатель первой дроби $x^2 - 4x + 4$. Это выражение является полным квадратом, так как соответствует формуле сокращенного умножения для квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=2$.

Проверка: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 - 4x + 4$.

Следовательно, знаменатель первой дроби можно записать как $(x-2)^2$.

2. Преобразуем знаменатель второй дроби, вынеся за скобки -1: $2-x = -(x-2)$. Подставим разложенные знаменатели в исходное выражение:

$$ \frac{4}{(x-2)^2} - \frac{2}{-(x-2)} $$

3. Знак "минус" в знаменателе второй дроби можно вынести перед дробью, изменив знак операции с вычитания на сложение:

$$ \frac{4}{(x-2)^2} + \frac{2}{x-2} $$

4. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $(x-2)^2$ и $(x-2)$ — это $(x-2)^2$.

5. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель $(x-2)$:

$$ \frac{4}{(x-2)^2} + \frac{2(x-2)}{(x-2)(x-2)} = \frac{4 + 2(x-2)}{(x-2)^2} $$

6. Упростим числитель, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$$ 4 + 2(x-2) = 4 + 2x - 4 = 2x $$

7. Таким образом, итоговое выражение равно:

Ответ: $ \frac{2x}{(x-2)^2} $.