Номер 1.155, страница 46 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.155. Примените свойства степени с целым показателем и найдите значение выражения $ \frac{6^{-3} \cdot 2^{-4}}{18^{-2}} $.

Для нахождения значения выражения $\frac{6^{-3} \cdot 2^{-4}}{18^{-2}}$ необходимо последовательно применить свойства степени с целым показателем.

1. Сначала разложим основания 6 и 18 на простые множители, чтобы работать с одинаковыми основаниями степеней:

• $6 = 2 \cdot 3$
• $18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$

2. Подставим эти разложения в исходное выражение:

$$ \frac{(2 \cdot 3)^{-3} \cdot 2^{-4}}{(2 \cdot 3^2)^{-2}} $$

3. Используя свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$ и свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$, раскроем скобки:

$$ \frac{2^{-3} \cdot 3^{-3} \cdot 2^{-4}}{2^{-2} \cdot (3^2)^{-2}} = \frac{2^{-3} \cdot 3^{-3} \cdot 2^{-4}}{2^{-2} \cdot 3^{-4}} $$

4. Теперь сгруппируем степени с одинаковыми основаниями. В числителе применим свойство произведения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$$ \frac{2^{-3+(-4)} \cdot 3^{-3}}{2^{-2} \cdot 3^{-4}} = \frac{2^{-7} \cdot 3^{-3}}{2^{-2} \cdot 3^{-4}} $$

5. Применим свойство частного степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ для каждого основания (2 и 3):

$$ 2^{-7 - (-2)} \cdot 3^{-3 - (-4)} = 2^{-7+2} \cdot 3^{-3+4} = 2^{-5} \cdot 3^1 $$

6. На последнем шаге вычислим полученное значение, используя определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$$ 2^{-5} \cdot 3 = \frac{1}{2^5} \cdot 3 = \frac{1}{32} \cdot 3 = \frac{3}{32} $$

Ответ: $\frac{3}{32}$